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Schwung

In der klassischen Mechanik Schwung ( Pl. Impulse; SI-Einheit kg m/s) ist das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit eines Körpers. Genauere Impulsmaße finden Sie im Abschnitt „Moderne Definitionen von Impuls“ auf dieser Seite.

Im Allgemeinen kann der Impuls eines Objekts konzeptionell als die Schwierigkeit angesehen werden, das Objekt anzuhalten, was durch Multiplikation zweier Faktoren bestimmt wird: seiner Trägheit (der Widerstand eines Objekts gegen Beschleunigung) und seiner Geschwindigkeit. Als solches ist es eine natürliche Folge von Newtons erstem und zweitem Bewegungsgesetz. Eine niedrigere Geschwindigkeit oder weniger Masse (wie wir die Trägheit messen) führt zu einem geringeren Impuls.

Der Impuls ist eine Erhaltungsgröße, was bedeutet, dass der Gesamtimpuls eines geschlossenen Systems (eines, das nicht von äußeren Kräften beeinflusst wird und dessen innere Kräfte nicht dissipativer Natur sind) nicht geändert werden kann.



Das Konzept des Impulses in der klassischen Mechanik wurde von einer Reihe großer Denker und Experimentatoren entwickelt. René Descartes bezogen auf Masse mal Geschwindigkeit als die fundamentale Kraft der Bewegung . Galileo verwendete in seinen Zwei neuen Wissenschaften den Begriff 'impeto' (italienisch), während Newtons Bewegungsgesetze verwendet Bewegung (Latein), was von späteren Gelehrten als Impuls interpretiert wurde.

Impuls in der Newtonschen Mechanik

Wenn sich ein Objekt in einem beliebigen Referenzrahmen bewegt, hat es in diesem Rahmen einen Impuls. Es ist wichtig zu beachten, dass das Momentum Frame-abhängig ist. Das heißt, dasselbe Objekt kann in einem Bezugsrahmen einen bestimmten Impuls haben, in einem anderen Rahmen jedoch einen anderen Betrag.

Die Menge an Impuls, die ein Objekt hat, hängt von zwei physikalischen Größen ab: der Masse und der Geschwindigkeit des sich bewegenden Objekts im Bezugssystem. In der Physik wird das Symbol für Impuls üblicherweise durch einen kleinen Fettdruck gekennzeichnet p (fett, weil es ein Vektor ist); so kann man schreiben:

  \mathbf{p}=m\mathbf{v}

wo:

p ist der Schwung
m ist die Masse
in die Geschwindigkeit

(unter Verwendung von fettem Text für Vektoren).

Der Ursprung der Verwendung von p für Momentum ist unklar. Es wurde seitdem vorgeschlagen m war bereits für 'Masse' verwendet worden, die p kann vom lateinischen petere („gehen“) oder von „Fortschritt“ (ein Begriff, der von verwendet wird) abgeleitet sein Leibniz ).

Die Geschwindigkeit eines Objekts zu einem bestimmten Zeitpunkt ist durch seine Geschwindigkeit und die Richtung seiner Bewegung zu diesem Zeitpunkt gegeben. Da der Impuls von der physikalischen Größe der Geschwindigkeit abhängt und diese einschließt, hat er auch eine Größe und eine Richtung und ist eine Vektorgröße. Beispielsweise müsste der Impuls einer 5 kg schweren Bowlingkugel durch die Aussage beschrieben werden, dass sie sich mit 2 m/s nach Westen bewegt. Es reicht nicht aus zu sagen, dass der Ball einen Impuls von 10 kg m/s hat, da der Impuls nicht vollständig beschrieben wird, wenn seine Richtung nicht angegeben ist.

Schwung für ein System

Bezieht sich auf Masse und Geschwindigkeit

Der Impuls eines Systems von Objekten ist die Vektorsumme der Impulse aller einzelnen Objekte im System.


  \mathbf{p}= m_1 \mathbf{v}_1 + m_2 \mathbf{v}_2 + m_3 \mathbf{v}_3 + ... + m_n \mathbf{v}_n

wo

  \mathbf{p} ist der Schwung
m ich ist die Masse des Objekts i
  \mathbf{v}_i die Geschwindigkeit des Objekts i
  n\ ist die Anzahl der Objekte im System

Bezogen auf Kraft

Die Kraft ist gleich der Impulsänderungsrate:

  \mathbf{F}={\mathrm{d}\mathbf{p}\over\mathrm{d}t} .

Im Fall von konstanter Masse und Geschwindigkeiten, die viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sind, führt diese Definition zu der Gleichung  \mathbf{F}={\mathbf{d}\mathbf{p}\over\mathbf{d}t}=\m\mathbf{a}= , allgemein als zweites Newtonsches Gesetz bekannt.

Befindet sich ein System im Gleichgewicht, so ist die zeitliche Impulsänderung gleich 0:

  m_1 \mathbf u_{1} + m_2 \mathbf u_{2} = m_1 \mathbf v_{1} + m_2 \mathbf v_{2} \,

Impulserhaltung

Das Prinzip von Impulserhaltung besagt, dass der Gesamtimpuls eines geschlossenen Systems von Objekten (das keine Wechselwirkungen mit externen Agenten hat) konstant ist. Eine der Folgen davon ist, dass der Schwerpunkt jedes Objektsystems immer mit der gleichen Geschwindigkeit fortbewegt, es sei denn, es wirkt eine Kraft außerhalb des Systems auf ihn ein.

Impulserhaltung ist eine Folge der Homogenität (shift Symmetrie ) Raum.

In einem isolierten System (einem System, in dem keine äußeren Kräfte vorhanden sind) ist der Gesamtimpuls konstant: Dies wird durch Newtons erstes Bewegungsgesetz impliziert. Newtons drittes Bewegungsgesetz, das Gesetz der Wechselwirkungen, das vorschreibt, dass die zwischen Systemen wirkenden Kräfte gleich groß, aber entgegengesetzt im Vorzeichen sind, beruht auf der Impulserhaltung.

Da der Impuls eine Vektorgröße ist, hat er eine Richtung. Wenn also eine Waffe abgefeuert wird, obwohl die Gesamtbewegung im Vergleich zu vor dem Abfeuern des Schusses zugenommen hat, ist der Impuls des Geschosses in einer Richtung in der Größe gleich, aber im entgegengesetzten Vorzeichen, wie der Impuls der Waffe in der anderen Richtung. Diese summieren sich dann zu Null, was gleich dem Nullimpuls ist, der vorhanden war, bevor sich entweder die Waffe oder die Kugel bewegte.

Impulserhaltung und Stöße

Der Impuls hat die besondere Eigenschaft, dass er in einem geschlossenen System auch bei Stößen immer erhalten bleibt. Kinetische Energie hingegen bleibt bei Stößen nicht erhalten, wenn sie unelastisch sind. Da der Impuls erhalten bleibt, kann er verwendet werden, um unbekannte Geschwindigkeiten nach einer Kollision zu berechnen.

Ein häufiges Problem in der Physik, das die Nutzung dieser Tatsache erfordert, ist die Kollision zweier Teilchen. Da der Impuls immer erhalten bleibt, muss die Summe der Impulse vor dem Stoß gleich der Summe der Impulse nach dem Stoß sein:

  \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m_1 v_{1,i}^2 + \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m_2 v_{2 ,i}^2 = \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m_1 v_{1,f}^2 + \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{ Matrix} m_2 v_{2,f}^2 \,

wo:

in bedeutet Vektorgeschwindigkeit vor der Kollision
in bedeutet Vektorgeschwindigkeit nach der Kollision.

Üblicherweise kennt man entweder nur die Geschwindigkeiten vor oder nach einer Kollision und möchte auch das Gegenteil herausfinden. Um dieses Problem richtig zu lösen, müssen Sie wissen, um welche Art von Kollision es sich handelt. Es gibt zwei grundlegende Arten von Kollisionen, die beide Impuls erhalten:

  • Elastische Kollisionen bewahren sowohl kinetische Energie als auch Gesamtimpuls vor und nach der Kollision.
  • Bei unelastischen Stößen bleibt keine kinetische Energie erhalten, aber der Gesamtimpuls vor und nach dem Stoß bleibt erhalten.

Elastische Stöße

Eine Kollision zwischen zwei Billard- oder Snookerkugeln ist ein gutes Beispiel für eine fast vollständig elastische Kollision. Zusätzlich dazu, dass der Impuls erhalten bleibt, wenn die beiden Kugeln kollidieren, muss die Summe der kinetischen Energie vor einer Kollision gleich der Summe der kinetischen Energie danach sein:

  v_{1,f} = \left( \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} \right) v_{1,i} + \left( \frac{2 m_2}{m_1 + m_2} \right) v_ {2,i} \,

Da allen Termen der Faktor 1/2 gemeinsam ist, kann er gleich herausgenommen werden.

Frontalzusammenstoß (1-dimensional)

Im Falle zweier frontal kollidierender Objekte finden wir die Endgeschwindigkeit

  v_{2,f} = \left( \frac{2 m_1}{m_1 + m_2} \right) v_{1,i} + \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) v_ {2,i} \,
  m_{1,f} \cdot v_{1,f} + m_{2,f} \cdot v_{2,f} = m_{1,i} \cdot v_{1,i} + m_{2,i} } \cdot v_{2,i}\,

die dann leicht umgestellt werden können

  m_1 \mathbf v_{1,i} + m_2 \mathbf v_{2,i} = \left( m_1 + m_2 \right) \mathbf v_f \,

Überlegen Sie nun, ob die Masse eines Körpers sagen würde, dass m1 weit mehr als m2 ist (m1>>m2). In diesem Fall ist m1+m2 ungefähr gleich m1. Und m1-m2 ist ungefähr gleich m1.

Setzen Sie diese Werte in die obige Gleichung ein, um den Wert von v2 nach der Kollision zu berechnen. Der Ausdruck ändert sich in v2 final ist 2*v1-v2. Seine physikalische Interpretation ist im Falle einer Kollision zwischen zwei Körpern, von denen einer sehr schwer ist, bewegt sich der leichtere Körper mit der doppelten Geschwindigkeit des schwereren Körpers weniger seiner tatsächlichen Geschwindigkeit, aber in entgegengesetzter Richtung.

Mehrdimensionale Kollisionen

Im Fall von Objekten, die in mehr als einer Dimension kollidieren, wie bei schrägen Kollisionen, wird die Geschwindigkeit in orthogonale Komponenten aufgelöst, wobei eine Komponente senkrecht zur Kollisionsebene und die andere Komponente oder Komponenten in der Kollisionsebene liegen. Die Geschwindigkeitskomponenten in der Stoßebene bleiben unverändert, während die Geschwindigkeit senkrecht zur Stoßebene wie im eindimensionalen Fall berechnet wird.

Beispielsweise können bei einem zweidimensionalen Stoß die Impulse in aufgelöst werden x und Y Komponenten. Wir können dann jede Komponente separat berechnen und sie kombinieren, um ein Vektorergebnis zu erzeugen. Die Größe dieses Vektors ist der endgültige Impuls des isolierten Systems.

Weitere Einzelheiten finden Sie auf der Seite zur elastischen Kollision.

Unelastische Stöße

Ein gängiges Beispiel für eine vollkommen unelastische Kollision ist, wenn zwei Schneebälle kollidieren und dann Stock danach zusammen. Diese Gleichung beschreibt die Impulserhaltung:

  \mathbf{p} = \gamma m\mathbf{v}

Es kann gezeigt werden, dass ein vollkommen inelastischer Stoß ein Stoß ist, bei dem die maximale Menge an kinetischer Energie in andere Formen umgewandelt wird. Wenn beispielsweise beide Objekte nach dem Stoß aneinander haften und sich mit einer gemeinsamen Endgeschwindigkeit bewegen, findet man immer ein Bezugssystem, in dem die Objekte durch den Stoß zur Ruhe gebracht und 100 % der kinetischen Energie umgesetzt werden. Dies gilt sogar im relativistischen Fall und wird in Teilchenbeschleunigern verwendet, um kinetische Energie effizient in neue Formen von Masse-Energie umzuwandeln (d.h. um massive Teilchen zu erzeugen).

Weitere Einzelheiten finden Sie auf der Seite zur inelastischen Kollision.

Moderne Definitionen von Momentum

Impuls in der relativistischen Mechanik

In der relativistischen Mechanik ist Impuls definiert als:

  \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}

wo

m ist die unveränderliche Masse des sich bewegenden Objekts,
  \left( {E \über c} , p_x , p_y ,p_z \right) ist der Lorentzfaktor
in ist die Relativgeschwindigkeit zwischen einem Objekt und einem Beobachter
c ist der Lichtgeschwindigkeit .

Der relativistische Impuls wird zum Newtonschen Impuls:  E = \gamma mc^2 \; bei niedriger Drehzahl (v/c -> 0).

Relativistischer Viererimpuls, wie vorgeschlagen von Albert Einstein ergibt sich aus der Invarianz von Vierervektoren unter Lorentzscher Übersetzung. Der Vierer-Impuls ist definiert als:

  p = \frac{h}{\lambda} = \frac{E}{c}

wo

p x ist die x-Komponente von relativistisch Schwung,
UND ist die Gesamtenergie des Systems:
  \mathbf{p}={\hbar\über i}\nabla=-i\hbar\nabla

Die 'Länge' des Vektors ist die Masse mal der Lichtgeschwindigkeit, die über alle Referenzrahmen hinweg unveränderlich ist:

( UND / c ) zwei p zwei = ( m c ) zwei

Das nebenstehende Diagramm kann als nützliche Gedächtnisstütze dienen, um sich an die obigen Beziehungen mit relativistischer Energie zu erinnern ( UND ), unveränderliche Masse ( m 0 ) und relativistisches Momentum( p ).

(Bitte beachten Sie, dass in der vom Ersteller des Diagramms verwendeten Notation die unveränderliche Masse m ist mit einer Null tiefgestellt, m 0 .)

Impuls masseloser Objekte

Masselose Objekte wie z Photonen tragen auch Schwung. Die Formel lautet:

  \nabla

wo

h ist die Plancksche Konstante,
l ist die Wellenlänge des Photons,
UND ist der Energie das Photon trägt und
c ist der Lichtgeschwindigkeit .

Verallgemeinerung des Impulses

Momentum ist die Noether-Ladung der Translationsinvarianz. Als solche können sogar Felder und andere Dinge einen Impuls haben, nicht nur Teilchen. In einer gekrümmten Raumzeit, die nicht asymptotisch Minkowski ist, ist der Impuls jedoch überhaupt nicht definiert.

Impuls in der Quantenmechanik

Im Quantenmechanik , Impuls ist als Operator auf der Wellenfunktion definiert. Die Heisenbergsche Unschärferelation definiert Grenzen dafür, wie genau der Impuls und die Position eines einzelnen beobachtbaren Systems auf einmal bekannt sein können. In der Quantenmechanik sind Ort und Impuls konjugierte Variablen.

Für ein einzelnes Teilchen mit Nr elektrische Ladung und kein Spin, kann der Impulsoperator in der Ortsbasis geschrieben werden als

  \hbar

wo:

  \mathbf P = m\mathbf v + q\mathbf A ist der Gradientenoperator
  \mathbf p = m\mathbf v ist die reduzierte Planck-Konstante.

Dies ist eine häufig anzutreffende Form des Impulsoperators, wenn auch nicht die allgemeinste.

Impuls im Elektromagnetismus

Wenn sich elektrische und/oder magnetische Felder bewegen, tragen sie Impulse. Licht (sichtbar, UV, Radio) ist eine elektromagnetische Welle und hat auch Impuls. Obwohl Photonen (der Teilchenaspekt des Lichts) keine Masse haben, tragen sie dennoch Impuls. Dies führt zu Anwendungen wie dem Sonnensegel.

Impuls bleibt in einem elektrodynamischen System erhalten (er kann sich von Impuls in den Feldern zu mechanischem Impuls von beweglichen Teilen ändern). Die Behandlung des Impulses eines Feldes erfolgt üblicherweise durch Betrachtung des sogenannten Energie-Impuls-Tensors und der über ein Volumen integrierten zeitlichen Änderung des Poynting-Vektors. Dies ist ein Tensorfeld, das Komponenten hat, die sich auf die Energiedichte und die Impulsdichte beziehen.

Die Definition des kanonischen Impulses, der dem Impulsoperator der Quantenmechanik entspricht, wenn er mit dem elektromagnetischen Feld interagiert, lautet nach dem Prinzip der kleinsten Kopplung:

  \mathbf A ,

statt wie gewohnt

  \mathbf v ,

wo:

 ist das elektromagnetische Vektorpotential
m die unveränderliche Masse des geladenen Teilchens
 seine Geschwindigkeit
q seine Ladung.

Bildliche Verwendung

Man kann von einem Prozess sprechen Schwung gewinnen . Die Terminologie impliziert, dass es Anstrengung erfordert, einen solchen Prozess zu starten, aber dass es relativ einfach ist, ihn am Laufen zu halten. Alternativ kann der Ausdruck so gesehen werden, dass er widerspiegelt, dass der Prozess Anhänger oder allgemeine Akzeptanz hinzufügt und somit hat mehr Masse bei gleicher Geschwindigkeit; daher gewann es an Dynamik.