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Roche-Limit

Stellen Sie sich eine umlaufende Flüssigkeitsmasse vor, die durch die Schwerkraft zusammengehalten wird, hier von oberhalb der Umlaufbahnebene gesehen. Weit entfernt von der Roche-Grenze ist die Masse praktisch kugelförmig.

Näher an der Roche-Grenze wird der Körper durch Gezeitenkräfte verformt.

Innerhalb der Roche begrenzen Sie die Masse's own gravity can no longer withstand the tidal forces, and the body disintegrates.

Innerhalb der Roche-Grenze kann die Eigengravitation der Masse den Gezeitenkräften nicht mehr standhalten und der Körper zerfällt.

Partikel, die näher am Primärelement liegen, bewegen sich schneller als weiter entfernte Partikel, wie durch die roten Pfeile dargestellt.

Die unterschiedliche Umlaufgeschwindigkeit des Materials führt schließlich dazu, dass es einen Ring bildet.

Das Roche-Limit , manchmal auch als bezeichnet Roche-Radius , ist die Entfernung, innerhalb derer ein Himmelskörper nur von sich selbst zusammengehalten wird Schwere wird zerfallen, weil die Gezeitenkräfte eines zweiten Himmelskörpers die gravitative Selbstanziehung des ersten Körpers übersteigen. Innerhalb der Roche-Grenze neigt umlaufendes Material dazu, sich zu verteilen und Ringe zu bilden, während Material außerhalb der Grenze dazu neigt, zu verschmelzen. Der Begriff ist nach Édouard Roche benannt, der Französisch Astronom der diese theoretische Grenze 1848 erstmals berechnete.

Typischerweise gilt die Roche-Grenze für einen Satelliten, der aufgrund von durch ihn induzierten Gezeitenkräften zerfällt primär , der Körper, um den es kreist. Einige echte Satelliten, sowohl natürliche als auch künstliche, können innerhalb ihrer Roche-Grenzen umkreisen, weil sie durch andere Kräfte als die Gravitation zusammengehalten werden. Der Jupitermond Metis und der Saturnmond Pan sind Beispiele für solche Trabanten, die aufgrund ihrer Zugfestigkeit zusammenhalten. Im Extremfall könnten Objekte, die auf der Oberfläche eines solchen Satelliten ruhen, tatsächlich durch Gezeitenkräfte weggehoben werden. Ein schwächerer Satellit, wie z Komet , könnte aufgelöst werden, wenn es seine Roche-Grenze passiert.

Da Gezeitenkräfte innerhalb der Roche-Grenze die Schwerkraft überwältigen, kann innerhalb dieser Grenze kein großer Satellit aus kleineren Partikeln zusammenwachsen. Tatsächlich befinden sich fast alle bekannten Planetenringe innerhalb ihrer Roche-Grenze (Saturns E-Ring ist eine bemerkenswerte Ausnahme). Sie könnten entweder Überreste der protoplanetaren Akkretionsscheibe des Planeten sein, die sich nicht zu kleinen Monden verschmolzen hat, oder umgekehrt entstanden sein, als ein Mond seine Roche-Grenze passierte und auseinanderbrach.

(Beachten Sie, dass die Roche-Grenze nicht mit dem Konzept des Roche-Keulens oder der Roche-Kugel verwechselt werden sollte, die auch nach Édouard Roche benannt sind. Der Roche-Keulen beschreibt die Grenzen, bei denen ein Objekt, das sich in einer Umlaufbahn um zwei andere Objekte befindet, erfasst wird von dem einen oder anderen.Die Roche-Sphäre nähert sich dem Gravitation Einflussbereich eines astronomischen Körpers angesichts von Störungen durch einen anderen schwereren Körper, um den er kreist.)

Bestimmung des Roche-Limits

Die Roche-Grenze hängt von der Steifigkeit des Satelliten ab. Auf der einen Seite behält ein völlig starrer Satellit seine Form bei, bis ihn die Gezeitenkräfte auseinander brechen. Auf der anderen Seite verformt sich ein sehr flüssiger Satellit allmählich, was zu erhöhten Gezeitenkräften führt, wodurch sich der Satellit verlängert, die Gezeitenkräfte weiter verstärkt und dazu führt, dass er leichter auseinanderbricht. Die meisten echten Satelliten liegen irgendwo zwischen diesen beiden Extremen, wobei innere Reibung, Viskosität und Zugfestigkeit den Satelliten weder perfekt starr noch perfekt flüssig machen.

Starre Satelliten

Zur Berechnung der starrer Körper Roche-Grenze für einen kugelförmigen Satelliten wird die Ursache der Starrheit vernachlässigt, aber es wird angenommen, dass der Körper diese beibehält kugelförmig Form, während es nur durch seine eigene Schwerkraft zusammengehalten wird. Andere Effekte werden ebenfalls vernachlässigt, wie z. B. die Gezeitendeformation der Primärwelle, die Rotation des Satelliten und seine unregelmäßige Form. Diese etwas unrealistischen Annahmen vereinfachen die Limitberechnung von Roche erheblich.

Die Roche-Grenze, $d$ , für einen starren kugelförmigen Satelliten, der einen kugelförmigen Primärkreis umkreist, ist:

$d = R\left( 2\;\frac {\rho_M} {\rho_m} \right)^{\frac{1}{3}}$

wo $R$ ist der Radius der Primärseite, $r M$ ist die Dichte der primären, und $r m$ ist die Dichte des Satelliten.

Beachten Sie, dass, wenn der Satellit mehr als doppelt so dicht ist wie der Primärsatellit (was bei einem felsigen Mond, der einen Gasriesen umkreist, leicht der Fall sein kann), die Roche-Grenze innerhalb des Primärsatelliten liegt und daher nicht relevant ist.

Herleitung der Formel

Um die Roche-Grenze zu bestimmen, betrachten wir eine kleine Masse $in$ auf der Oberfläche des Satelliten, der der Primärseite am nächsten ist. Auf diese Masse wirken zwei Kräfte $in$ : die Anziehungskraft zum Satelliten und die Anziehungskraft zur Primärseite. Da sich der Satellit bereits im freien Fall auf der Umlaufbahn um den Primärstern befindet, ist die Gezeitenkraft der einzig relevante Term der Gravitationsanziehung des Primärsterns.

Die Gravitationskraft $F G$ auf die Masse $in$ zum Satelliten mit Masse $m$ und Radius $r$ kann nach dem Newtonschen Gravitationsgesetz ausgedrückt werden.

$F_G = \frac{Gmu}{r^2}$

Die Gezeitenkraft $F T$ auf die Masse $in$ zum Primärteil mit Radius $R$ und eine Distanz $d$ zwischen den Zentren der beiden Körper kann ausgedrückt werden als:

$F_T = \frac{2GMur}{d^3}$

Die Roche-Grenze ist erreicht, wenn sich Anziehungskraft und Gezeitenkraft gegenseitig aufheben.

$F_G = F_T \;$

oder

$\frac{Gmu}{r^2} = \frac{2GMur}{d^3}$

Was schnell die Roche-Grenze ergibt, $d$ , wie:

$d = r \left( 2 M / m \right)^{\frac{1}{3}}$

Wir möchten jedoch nicht wirklich, dass der Radius des Satelliten im Ausdruck für die Grenze erscheint, also schreiben wir dies in Dichten um.

Bei einer Kugel die Masse $M$ kann geschrieben werden als:

$M = \frac{4\pi\rho_M R^3}{3}$ wo

R

ist der Radius der Primärseite.

Und ebenfalls:

$m = \frac{4\pi\rho_m r^3}{3}$ wo

r

ist der Radius des Satelliten.

Ersetzen der Massen in der Gleichung für die Roche-Grenze und Aufheben $4p / 3$ gibt:

$d = r \left( \frac{ 2 \rho_M R^3 }{ \rho_m r^3 } \right)^{1/3}$

was auf die Roche-Grenze vereinfacht werden kann:

$d = R\left( 2\;\frac {\rho_M} {\rho_m} \right)^{\frac{1}{3}}$

Flüssige Satelliten

Ein genauerer Ansatz zur Berechnung des Roche-Limits berücksichtigt die Deformation des Satelliten. Ein extremes Beispiel wäre ein gezeitengebundener flüssiger Satellit, der einen Planeten umkreist, wo jede auf den Satelliten einwirkende Kraft ihn verformen würde (in ein ausgedehntes Sphäroid).

Die Berechnung ist komplex und ihr Ergebnis nicht als algebraische Formel darstellbar. Historisch hat Roche selbst die folgende numerische Lösung für das Roche-Limit abgeleitet:

$d \approx 2,44R\left( \frac {\rho_M} {\rho_m} \right)^{1/3}$

Eine bessere Annäherung, die die Abflachung des Primärteils und die Masse des Satelliten berücksichtigt, ist jedoch:

$d \approx 2,423 R\left( \frac {\rho_M} {\rho_m} \right)^{1/3} \left( \frac{(1+\frac{m}{3M})+\frac{c {3R}(1+\frac{m}{M})}{1-c/R} \right)^{1/3}$

wo $c / R$ ist die Abflachung des Primären. Der Zahlenfaktor wird mit Hilfe eines Computers berechnet.

Die flüssige Lösung eignet sich für Körper, die nur lose zusammengehalten werden, wie z. B. einen Kometen. Zum Beispiel passierte die zerfallende Umlaufbahn des Kometen Shoemaker-Levy 9 um Jupiter im Juli 1992 seine Roche-Grenze, was dazu führte, dass er in eine Reihe kleinerer Teile zersplitterte. Bei seinem nächsten Anflug im Jahr 1994 stürzten die Fragmente auf den Planeten. Shoemaker-Levy 9 wurde erstmals 1993 beobachtet, aber seine Umlaufbahn deutete darauf hin, dass er einige Jahrzehnte zuvor von Jupiter eingefangen worden war.

Herleitung der Formel

Da das Gehäuse des flüssigen Satelliten empfindlicher ist als das starre, wird der Satellit mit einigen vereinfachenden Annahmen beschrieben. Nehmen wir zunächst an, dass das Objekt aus einer inkompressiblen Flüssigkeit mit konstanter Dichte besteht $r m$ und Lautstärke $IN$ die nicht von äußeren oder inneren Kräften abhängen.

Nehmen wir zweitens an, der Satellit bewegt sich auf einer kreisförmigen Umlaufbahn und bleibt in synchroner Rotation. Damit ist die Winkelgeschwindigkeit gemeint $oh$ mit der es sich um seinen Massenmittelpunkt dreht, ist gleich der Winkelgeschwindigkeit, mit der es sich um den Schwerpunkt des Gesamtsystems bewegt.

Die Winkelgeschwindigkeit $oh$ ergibt sich aus dem dritten Keplerschen Gesetz:

$\omega^2 = G \, \frac{M + m}{d^3}$

Die synchrone Rotation impliziert, dass sich die Flüssigkeit nicht bewegt und das Problem als statisch angesehen werden kann. Daher spielen Viskosität und Reibung der Flüssigkeit in diesem Modell keine Rolle, da diese Größen nur bei einer bewegten Flüssigkeit eine Rolle spielen würden.

Unter diesen Annahmen sollten die folgenden Kräfte berücksichtigt werden:

Die Gravitationskraft aufgrund des Hauptkörpers;
die Zentrifugalkraft im rotierenden Bezugssystem; und
das Eigengravitationsfeld des Satelliten.

Da alle diese Kräfte konservativ sind, können sie durch ein Potential ausgedrückt werden. Außerdem ist die Oberfläche des Satelliten äquipotential. Andernfalls würden die Potentialunterschiede Kräfte und Bewegungen einiger Teile der Flüssigkeit an der Oberfläche hervorrufen, was der statischen Modellannahme widerspricht. Angesichts des Abstands vom Hauptkörper besteht unser Problem darin, die Form der Oberfläche zu bestimmen, die die Äquipotentialbedingung erfüllt.

Radialer Abstand eines Punktes auf der Oberfläche des Ellipsoids zum Massenmittelpunkt

Da die Umlaufbahn kreisförmig angenommen wurde, wissen wir, dass sich die gesamte auf den Hauptkörper wirkende Gravitationskraft und Zentrifugalkraft aufheben. Daher ist die Kraft, die auf die Teilchen der Flüssigkeit wirkt, die Gezeitenkraft, die von der Position in Bezug auf den Massenmittelpunkt abhängt (bereits im starren Modell berücksichtigt). Bei kleinen Körpern ist der Abstand der Flüssigkeitsteilchen vom Körpermittelpunkt klein im Verhältnis zum Abstand d zum Hauptkörper. Somit kann die Gezeitenkraft linearisiert werden, was die gleiche Formel für ergibt F_T wie oben angegeben. Während diese Kraft im starren Modell nur vom Radius abhängt r des Satelliten, im Flüssigkeitsfall müssen wir alle Punkte auf der Oberfläche berücksichtigen und die Gezeitenkraft hängt von der Entfernung ab Δd vom Massenzentrum zu einem gegebenen Teilchen, das auf die Linie projiziert wird, die den Satelliten und den Hauptkörper verbindet. Wir nennen Δd das radialer Abstand (siehe Bild). Da die Gezeitenkraft linear ist Δd , das zugehörige Potential ist proportional zum Quadrat der Variablen und für $V_T = - \frac{3 G M }{2 d^3}\Delta d^2 \,$ wir haben

$V_s = V_{s_{0}} + G \pi \rho_m \cdot f(\epsilon)\cdot \Delta d^2,$

Wir wollen die Form des Satelliten bestimmen, für den die Summe aus Eigengravitationspotential und $IN T$ ist auf der Körperoberfläche konstant. Im Allgemeinen ist ein solches Problem sehr schwer zu lösen, aber in diesem speziellen Fall kann es aufgrund der quadratischen Abhängigkeit des Gezeitenpotentials von der radialen Entfernung durch eine geschickte Schätzung gelöst werden Δd

Da das Potenzial IN_T sich nur in einer Richtung (d. h. der Richtung zum Hauptkörper) ändert, kann erwartet werden, dass der Satellit eine axialsymmetrische Form annimmt. Genauer gesagt können wir annehmen, dass es sich um einen Revolutionskörper handelt. Das Eigenpotential auf der Oberfläche eines solchen Rotationskörpers kann nur vom radialen Abstand zum Massenmittelpunkt abhängen. Tatsächlich ist der Schnittpunkt des Satelliten und einer Ebene senkrecht zur Verbindungslinie der Körper eine Scheibe, deren Begrenzung nach unseren Annahmen ein Kreis konstanten Potentials ist. Sollte die Differenz zwischen dem Eigengravitationspotential u IN_T konstant sein, müssen beide Potentiale in gleicher Weise von abhängen Δd . Mit anderen Worten, das Selbstpotential muss proportional zum Quadrat von sein Δd . Dann kann gezeigt werden, dass die Äquipotentiallösung ein Rotationsellipsoid ist. Bei konstanter Dichte und konstantem Volumen hängt das Eigenpotential solcher Körper nur von der Exzentrizität ab e des Ellipsoids:

$f(\epsilon) = \frac{1 - \epsilon^2}{\epsilon^3} \cdot \left[ \left(3-\epsilon^2 \right) \cdot \mathrm{arsinh} \left(\ frac{\epsilon}{\sqrt{1-\epsilon^2}} \right) -3 \epsilon \right]$

wo $Der Graph der dimensionslosen Funktion f, die angibt, wie die Stärke des Gezeitenpotentials von der Exzentrizität ε des Ellipsoids abhängt$ ist das konstante Selbstpotential am Schnittpunkt der kreisförmigen Kante des Körpers und der durch die Gleichung gegebenen zentralen Symmetrieebene Δd=0 .

Die dimensionslose Funktion f ist aus der genauen Lösung für das Potential des Ellipsoids zu bestimmen

$Vergrößern$

und ist überraschenderweise nicht von der Lautstärke des Satelliten abhängig.

$\frac{2 G \pi \rho_M R^3}{d^3} = G \pi \rho_m f(\epsilon)$ Die Ableitung von f bestimmt die maximale Exzentrizität. Dies ergibt die Roche-Grenze.

Der Graph der dimensionslosen Funktion f was angibt, wie die Stärke des Gezeitenpotentials von der Exzentrizität abhängt e des Ellipsoids

Obwohl die explizite Form der Funktion f sieht kompliziert aus, es ist klar, dass wir den Wert von wählen können und tun e damit das Potenzial IN_T ist gleich IN_S plus eine von der Variablen unabhängige Konstante Δd . Nach Inspektion tritt dies auf, wenn

$Vergrößern$

Diese Gleichung lässt sich leicht numerisch lösen. Der Graph zeigt an, dass es zwei Lösungen gibt und somit die kleinere die stabile Gleichgewichtsform darstellt (das Ellipsoid mit der kleineren Exzentrizität). Diese Lösung bestimmt die (Exzentrizität) des Gezeitenellipsoids als Funktion des Abstands zum Hauptkörper. Die Ableitung der Funktion f einen Nullpunkt hat, wo die maximale Exzentrizität erreicht wird. Dies entspricht dem Roche-Limit.

$\epsilon_\textrm{max}\approx 0{.}86$ $d \approx 2{,}423 \cdot R \cdot \sqrt[3]{ \frac {\rho_M} {\rho_m} } \,.$ Die Ableitung von f bestimmt die maximale Exzentrizität. Dies ergibt die Roche-Grenze.

Genauer gesagt wird das Roche-Limit dadurch bestimmt, dass die Funktion f , die als (nichtlineares) Maß für die Kraft angesehen werden kann, die das Ellipsoid in Richtung einer Kugelform zusammendrückt, ist so begrenzt, dass es eine Exzentrizität gibt, bei der diese Kontraktionskraft maximal wird. Da die Gezeitenkraft zunimmt, wenn sich der Satellit dem Hauptkörper nähert, ist klar, dass es einen kritischen Abstand gibt, bei dem das Ellipsoid aufgerissen wird.

Die maximale Exzentrizität kann numerisch als Nullpunkt der Ableitung von berechnet werden f' (siehe Diagramm). Man erhält

$\text{[math]}$

was dem Verhältnis der Ellipsoidachsen 1:1,95 entspricht. Setzen Sie dies in die Formel für die Funktion ein f man kann den minimalen Abstand bestimmen, bei dem das Ellipsoid existiert. Dies ist die Roche-Grenze,

$\text{[math]}$

Roche Grenzwerte für ausgewählte Beispiele

Die folgende Tabelle zeigt die mittlere Dichte und den Äquatorialradius für ausgewählte Objekte in unserem Sonnensystem .

Primär	Dichte (kg/m³ )	Radius (m)
Sonne	1408	696.000.000
Jupiter	1326	71.492.000
Erde	5513	6.378.137
Mond	3346	1.738.100
Saturn	687.3	60.268.000
Uranus	1318	25.559.000
Neptun	1638	24.764.000

Anhand dieser Daten lassen sich die Roche-Grenzwerte für starre und flüssige Körper leicht berechnen. Die durchschnittliche Dichte von Kometen wird mit etwa 500 kg/m angenommen³ .

Die folgende Tabelle gibt die Roche-Grenzwerte in Metern und Primärradien an. Die wahre Roche-Grenze für einen Satelliten hängt von seiner Dichte und Steifigkeit ab.

Körper	Satellit	Roche-Limit (starr)		Roche-Limit (Flüssigkeit)
Körper	Satellit	Entfernung (km)	R	Entfernung (km)	R
Erde	Mond	9.496	1.49	18.261	2.86
Erde	durchschnittlicher Komet	17.880	2,80	34.390	5.39
Sonne	Erde	554.400	0,80	1.066.300	1.53
Sonne	Jupiter	890.700	1.28	1.713.000	2.46
Sonne	Mond	655.300	0,94	1.260.300	1.81
Sonne	durchschnittlicher Komet	1.234.000	1,78	2.374.000	3.42

Wenn der Primärkörper weniger als halb so dicht ist wie der Satellit, ist die Roche-Grenze des starren Körpers kleiner als der Radius des Primärkörpers, und die beiden Körper können kollidieren, bevor die Roche-Grenze erreicht wird.

Wie nah sind die Monde des Sonnensystems an ihren Roche-Grenzen? Die folgende Tabelle gibt den Orbitalradius jedes inneren Satelliten geteilt durch seinen eigenen Roche-Radius an. Es werden sowohl starre als auch flüssige Körperberechnungen angegeben. Beachten Sie insbesondere Pan und Naiad, die ihren tatsächlichen Bruchpunkten ziemlich nahe kommen können.

In der Praxis sind die Dichten der meisten inneren Trabanten von Riesenplaneten nicht bekannt. In diesen Fällen (gezeigt in Kursivschrift ), wahrscheinliche Werte wurden angenommen, aber ihre tatsächlich Das Roche-Limit kann vom angezeigten Wert abweichen.

Primär	Satellit	Orbitalradius vs. Roche-Limit
Primär	Satellit	(starr)	(Fluid)
Sonne	Quecksilber	104:1	54:1
Erde	Mond	41:1	21:1
Mars	Phobos	172%	89%
Mars	Deimos	451%	2. 3. 4%
Jupiter	stellen	~186%	~94%
	Adrastea	~188%	~95%
	Amalthea	175%	88%
	Schild	254%	128%
Saturn	Pfanne	142%	70%
	Atlas	156%	78%
	Prometheus	162%	80%
	Pandora	167%	83%
	Epimetheus	200 %	99%
	Janus	195%	97%
Uranus	Cordelia	~154%	~79%
	Ophelia	~166%	~86%
	Bianka	~183%	~94%
	Cressida	~191%	~98%
	Desdemona	~194%	~100%
	Julia	~199%	~102%
Neptun	Najade	~139%	~72%
	Thalassa	~145%	~75%
	Despina	~152%	~78%
	Galatea	153%	79%
	Larissa	~218%	~113%
Pluto	Charon	12,5:1	6,5:1