Pi

Wenn der Durchmesser eines Kreises 1 ist, ist sein Umfang π.

Die mathematische Konstante Pi ist eine irrationale reelle Zahl, ungefähr gleich 3,14159, was das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser in ist Euklidische Geometrie , und hat viele Verwendungen in Mathematik , Physik , und Ingenieurwesen . Es ist auch bekannt als Archimedes ' konstant (nicht zu verwechseln mit einer Archimedes-Zahl) und als Ludolphs Nummer .

Der Buchstabe π

Der Name des griechischen Buchstabens π ist Pi , und diese Schreibweise wird in typografischen Kontexten verwendet, in denen der griechische Buchstabe nicht verfügbar ist oder in denen seine Verwendung problematisch sein könnte. Wenn man sich auf diese Konstante bezieht, wird das Symbol π immer wie 'Kuchen' in ausgesprochen Englisch , das Konventionelle Englisch Aussprache des Buchstabens.

Die Konstante heißt „π“, weil es der erste Buchstabe der griechischen Wörter περιφέρεια „Peripherie“ und περίμετρος „Perimeter“ ist, d.h. 'Umfang'.

π ist das Unicode-Zeichen U+03C0 ('griechischer Kleinbuchstabe pi').

Definition

Fläche des Kreises = π × Fläche des schattierten Quadrats

Im Euklidische Ebenengeometrie , π ist entweder als Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser oder als Verhältnis der Fläche eines Kreises zur Fläche eines Quadrats definiert, dessen Seite der Radius ist. Die Konstante π kann auf andere Weise definiert werden, die die Konzepte von Bogenlänge und -fläche vermeiden, beispielsweise als das Doppelte des kleinsten positiven Werts x wofür cos ( x ) = 0. Die folgenden Formeln veranschaulichen andere (äquivalente) Definitionen.

Numerischer Wert

Der auf 50 Dezimalstellen gekürzte Zahlenwert von π ist:

3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510

Mit den hier angegebenen 50 Ziffern könnte der Umfang jedes Kreises, der in das beobachtbare Universum passen würde (ohne Berücksichtigung der Raumkrümmung), mit einem Fehler von weniger als der Größe eines Protons berechnet werden. Trotzdem hat der exakte Wert von π eine unendliche Dezimalerweiterung: seine Dezimalerweiterung endet nie und wiederholt sich nicht, da π eine irrationale Zahl (und tatsächlich eine transzendente Zahl) ist. Diese unendliche Ziffernfolge hat Mathematiker und Laien gleichermaßen fasziniert, und in den letzten Jahrhunderten wurde viel Mühe darauf verwendet, mehr Ziffern zu berechnen und die Eigenschaften der Zahl zu untersuchen. Trotz viel analytischer Arbeit und Supercomputer-Berechnungen, die über 1 Billion Ziffern von π bestimmt haben, wurde nie ein einfaches Muster in den Ziffern gefunden. Ziffern von π sind auf vielen Webseiten verfügbar, und es gibt Software zur Berechnung von π auf Milliarden von Ziffern auf jedem PC. Sehen Geschichte der numerischen Approximationen von π.

Berechnung von π

Die meisten Formeln zur Berechnung der Ziffern von π haben wünschenswerte mathematische Eigenschaften, sind aber ohne Hintergrundwissen in Trigonometrie und Analysis schwer verständlich. Trotzdem ist es möglich, π unter Verwendung von Techniken zu berechnen, die nur Algebra und Geometrie beinhalten.

Zum Beispiel:

Diese Reihe ist leicht zu verstehen, aber unpraktisch in der Anwendung, da sie sehr langsam gegen π konvergiert. Es sind mehr als 600 Begriffe erforderlich, um seinen Wert auf 3,14 (zwei Stellen) einzugrenzen, und Milliarden von Begriffen, um eine Genauigkeit von zehn Stellen zu erreichen.

Eine übliche Unterrichtsaktivität zum experimentellen Messen des Werts von π besteht darin, einen großen Kreis auf Millimeterpapier zu zeichnen und dann seine ungefähre Fläche zu messen, indem die Anzahl der Zellen innerhalb des Kreises gezählt wird. Da ist die Fläche des Kreises bekannt

π kann mit Algebra abgeleitet werden:

Dieses Verfahren funktioniert sowohl mathematisch als auch experimentell. Wenn ein Kreis mit Radius r wird mit seinem Mittelpunkt am Punkt (0,0) gezeichnet, einem beliebigen Punkt, dessen Abstand vom Ursprung kleiner als ist r wird in den Kreis fallen. Das Satz des Pythagoras gibt die Entfernung von jedem Punkt an ( x , Y ) zum Zentrum:

Mathematisches 'Millimeterpapier' wird gebildet, indem man sich ein 1x1-Quadrat vorstellt, das um jeden Punkt zentriert ist ( x , Y ), wo x und Y sind ganze Zahlen zwischen -r und r . Quadrate, deren Mittelpunkt innerhalb des Kreises liegt, können dann gezählt werden, indem geprüft wird, ob für jeden Punkt ( x , Y ),

Die Gesamtzahl der Punkte, die diese Bedingung erfüllen, nähert sich somit der Fläche des Kreises an, die dann zur Berechnung einer Annäherung von verwendet werden kann Pi .

Mathematisch lässt sich diese Formel schreiben:

Mit anderen Worten, wählen Sie zunächst einen Wert für aus r . Betrachten Sie alle Punkte ( x , Y ) in denen beide x und Y sind ganze Zahlen zwischen -r und r . Beginnen Sie bei 0 und addieren Sie 1 für jeden Punkt, dessen Abstand zum Ursprung (0,0) kleiner ist als r . Wenn Sie fertig sind, teilen Sie die Summe, die die Fläche eines Kreises mit Radius darstellt r , durch r ^zwei um die Näherung von π zu finden. Genauere Annäherungen können durch Verwendung größerer Werte von erzeugt werden r .

Zum Beispiel, wenn r auf 2 gesetzt wird, dann werden die Punkte (-2,-2), (-2,-1), (-2,0), (-2,1), (-2,2), (-1,- 2), (-1,-1), (-1,0), (-1,1), (-1,2), (0,-2), (0,-1), (0,0 ), (0,1), (0,2), (1,-2), (1,-1), (1,0), (1,1), (1,2), (2,- 2), (2,-1), (2,0), (2,1), (2,2) berücksichtigt. Die 9 Punkte (-1,-1), (-1,0), (-1,1), (0,-1), (0,0), (0,1), (1,-1) , (1,0), (1,1) liegen innerhalb des Kreises, also ist die ungefähre Fläche 9, und π wird mit ungefähr 2,25 berechnet. Ergebnisse für einige Werte von r sind in der folgenden Tabelle aufgeführt:

In ähnlicher Weise beinhalten die komplexeren Näherungen von π, die unten angegeben sind, wiederholte Berechnungen irgendeiner Art, was immer engere Näherungen mit zunehmender Anzahl von Berechnungen ergibt.

Eigenschaften

Die Konstante π ist eine irrationale Zahl; das heißt, es kann nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen geschrieben werden. Dies wurde 1761 von Johann Heinrich Lambert nachgewiesen.

Außerdem ist π auch transzendent, wie Ferdinand von Lindemann 1882 bewiesen hat. Das bedeutet, dass es kein Polynom mit rationalen Koeffizienten gibt, dessen Wurzel π ist. Eine wichtige Folge der Transzendenz von π ist die Tatsache, dass es nicht konstruierbar ist. Da die Koordinaten aller Punkte, die mit Zirkel und Lineal konstruiert werden können, konstruierbare Zahlen sind, ist es unmöglich, den Kreis zu quadrieren, das heißt, es ist unmöglich, mit Zirkel und Lineal allein ein Quadrat zu konstruieren, dessen Fläche gleich der Fläche ist eines bestimmten Kreises.

Geschichte

Verwendung des Symbols π

Oft das Buch von William Jones Eine neue Einführung in die Mathematik von 1706 wird als erster Text zitiert, in dem der griechische Buchstabe π für diese Konstante verwendet wurde, aber diese Notation wurde danach besonders populär Leonhard Euler übernahm es einige Jahre später ( vgl Geschichte von π).

Frühe Annäherungen

Hauptartikel: Geschichte der numerischen Approximationen von Pi.

Der Wert von Pi ist in irgendeiner Form seit der Antike bekannt. Bereits im 19. Jahrhundert v. Chr. verwendeten babylonische Mathematiker Pi = ²⁵ ⁄ ₈ , was innerhalb von 0,5 % des wahren Werts liegt.

Der ägyptische Schreiber Ahmes schrieb den ältesten bekannten Text, um einen ungefähren Wert anzugeben Pi , unter Berufung auf einen Papyrus aus dem Reich der Mitte, was einem Wert von 256 geteilt durch 81 oder 3,160 entspricht.

Manchmal wird behauptet, dass die Bibel besagt, dass Pi = 3, basierend auf einer Passage in 1. Könige 7:23, in der Maße für ein rundes Becken mit einem Durchmesser von 10 Ellen und einem Umfang von 30 Ellen angegeben sind. Rabbi Nehemiah erklärte dies damit, dass der Durchmesser von außen nach außen ging, während der Umfang der war innere Krempe, was einen ungefähren Wert von ~3,14 ergibt; aber es kann genügen, dass die Maße in runden Zahlen angegeben werden. Außerdem war das Becken möglicherweise nicht genau kreisförmig, obwohl der Vers behauptet, dass '... es vollständig rund war'. (NKJ)

Prinzip der Annäherungsmethode von Archimedes Pi .

Archimedes von Syrakus entdeckte, indem er die Umfänge von 96-seitigen Polygonen betrachtete, die einen Kreis einschrieben und von ihm einbeschrieben wurden, dass Pi ist zwischen ²²³ ⁄ ₇₁ und ²² ⁄ ₇ . Der Durchschnitt dieser beiden Werte beträgt ungefähr 3,1419.

Der chinesische Mathematiker Liu Hui hat berechnet Pi bis 3,141014 (gut auf drei Dezimalstellen) im Jahr 263 n. Chr. und schlug vor, dass 3,14 eine gute Annäherung sei.

Der indische Mathematiker und Astronom Aryabhata im 5. Jahrhundert gab die Annäherung Pi = ⁶²⁸³² ⁄ ₂₀₀₀₀ = 3,1416, korrekt auf vier Dezimalstellen gerundet. Er räumte auch ein, dass dies eine Annäherung war, die für den Zeitraum ziemlich fortgeschritten war.

Der chinesische Mathematiker und Astronom Zu Chongzhi hat berechnet Pi zwischen 3,1415926 und 3,1415927 liegen und gab zwei Annäherungen an Pi , ³⁵⁵ ⁄ ₁₁₃ und ²² ⁄ ₇ , in dem 5. Jahrhundert .

Der indische Mathematiker und Astronom Madhava von Sangamagrama im 14. Jahrhundert den Wert errechnet Pi nach Transformation der Potenzreihenentwicklung von ^Pi ⁄ ₄ in das Formular

und Verwenden der ersten 21 Terme dieser Reihe zum Berechnen einer rationalen Näherung von Pi auf 11 Dezimalstellen korrigiert als 3,14159265359. Durch Hinzufügen eines Restterms zur ursprünglichen Potenzreihe von ^Pi ⁄ ₄ , konnte er berechnen Pi auf 13 Dezimalstellen genau.

Das persisch Astronom Ghyath ad-din Jamshid Kashani (1350-1439) richtig berechnet Pi bis 9 Stellen in der Basis von 60, was 16 Dezimalstellen entspricht als:

zwei Pi = 6,2831853071795865

Bis 1610 hatte der deutsche Mathematiker Ludolph van Ceulen die Berechnung der ersten 35 Dezimalstellen abgeschlossen Pi . Es wird gesagt, dass er auf diese Leistung so stolz war, dass er sie auf seinem Grabstein eingravieren ließ.

1789 verbesserte der slowenische Mathematiker Jurij Vega die Formel von John Machin aus dem Jahr 1706 und berechnete die ersten 140 Dezimalstellen für Pi von denen die ersten 126 richtig waren und den Weltrekord für 52 Jahre hielten, bis William Rutherford 1841 208 Dezimalstellen berechnete, von denen die ersten 152 richtig waren.

Der englische Amateur-Mathematiker William Shanks, ein Mann mit unabhängigen Mitteln, verbrachte über 20 Jahre mit dem Rechnen Pi auf 707 Dezimalstellen (erreicht 1873). Im Jahr 1944 stellte D. F. Ferguson fest, dass Shanks an der 528. Dezimalstelle einen Fehler gemacht hatte und dass alle nachfolgenden Ziffern falsch waren. Bis 1947 hatte Ferguson Pi auf 808 Dezimalstellen umgerechnet (mit Hilfe eines mechanischen Tischrechners).

Numerische Annäherungen

Aufgrund der transzendentalen Natur von Pi , gibt es keine geschlossenen Formausdrücke für die Zahl in Bezug auf algebraische Zahlen und Funktionen. Formeln zum Rechnen Pi Verwenden von elementarer Arithmetik enthalten ausnahmslos Notationen wie '...', was darauf hinweist, dass die Formel wirklich eine Formel für eine unendliche Folge von Annäherungen an ist Pi . Je mehr Terme in einer Berechnung enthalten sind, desto näher an Pi Das Ergebnis wird erhalten, aber keines der Ergebnisse wird angezeigt Pi exakt.

Folglich müssen numerische Berechnungen Näherungen von verwenden Pi . Für viele Zwecke ist 3,14 oder 22/7 nah genug, obwohl Ingenieure häufig 3,1416 (5 signifikante Ziffern) oder 3,14159 (6 signifikante Ziffern) für mehr Genauigkeit verwenden. Die Näherungen 22/7 und 355/113 mit 3 bzw. 7 signifikanten Stellen ergeben sich aus der einfachen Kettenbruchentwicklung von Pi . Die Annäherung ³⁵⁵ ⁄ ₁₁₃ (3.1415929…) ist die beste, die mit einem dreistelligen oder vierstelligen Zähler und Nenner ausgedrückt werden kann.

Die früheste numerische Näherung von Pi ist mit ziemlicher Sicherheit der Wert 3. In Fällen, in denen wenig Präzision erforderlich ist, kann dies ein akzeptabler Ersatz sein. Dass 3 eine Unterschätzung ist, folgt aus der Tatsache, dass es das Verhältnis des Umfangs eines einbeschriebenen regelmäßigen Sechsecks zum Durchmesser des Kreises ist.

Alle weiteren Verbesserungen an den oben erwähnten 'historischen' Annäherungen wurden mit Hilfe von durchgeführt Computers .

Formeln

Geometrie

Die Konstante Pi kommt in vielen Formeln vor Geometrie Kreise einbeziehen u Kugeln .

Geometrische Form	Formel
Umfang des Radiuskreises r und Durchmesser d
Fläche des Radiuskreises r
Ellipsenfläche mit Halbachsen a und b
Volumen der Sphäre des Radius r und Durchmesser d
Oberfläche der Kugel des Radius r und Durchmesser d
Volumen des Höhenzylinders h und Radius r
Oberfläche des Höhenzylinders h und Radius r
Volumen des Kegels der Höhe h und Radius r
Fläche des Höhenkegels h und Radius r

Alle diese Formeln sind eine Folge der Umfangsformel. Beispielsweise kann die Fläche eines Kreises mit Radius R akkumuliert werden, indem Kreisringe unendlich kleiner Breite unter Verwendung des Integrals summiert werden . Die anderen betreffen eine Oberfläche oder einen Rotationskörper.

Auch das Winkelmaß von 180° (Grad) ist gleich Pi Radiant.

Analyse

Viele Formeln drin Analyse enthalten Pi , einschließlich Darstellungen unendlicher Reihen (und unendlicher Produkte), Integrale und sogenannter spezieller Funktionen.

• Die Fläche der Einheitsscheibe:

• Halber Umfang des Einheitskreises:

• François Viète, 1593 (Beweis):

• Leibniz ' Formel (Beweis):

• Walliser Produkt, 1655 (Beweis):

• Schnelleres Produkt (siehe Sondow, 2005 und Sondow-Webseite)

bei dem die n Faktor ist der 2 ⁿ te Wurzel des Produkts

• Symmetrische Formel (siehe Sondow, 1997)

• Bailey-Borwein-Plouffe-Algorithmus (siehe Bailey, 1997 und Bailey-Webseite)

• Chebyshev-Reihe Y. Luke, Math. Tabl. Aids Comp. 11 (1957) 16

• Eine Integralformel aus Infinitesimalrechnung (siehe auch Fehlerfunktion und Normalverteilung):

• Basler Problem, zuerst gelöst von Euler (siehe auch Riemannsche Zeta-Funktion):

und allgemein, g(2 n ) ist ein rationales Vielfaches von Pi ^{zwei n} für positive ganze Zahl n

• Gamma-Funktion ausgewertet bei 1/2:

• Stirlings Näherung:

• Eulers Identität (genannt von Richard Feynmann 'die bemerkenswerteste Formel der Mathematik'):

• Eine Eigenschaft der Eulerschen Totient-Funktion (siehe auch Farey-Folge):

• Eine Anwendung des Residuensatzes

wobei der Integrationspfad eine geschlossene Kurve um den Ursprung ist, die standardmäßig gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen wird.

Fortgesetzte Brüche

Neben der einfachen Kettenbruchdarstellung [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, …], die kein erkennbares Muster aufweist, Pi hat viele verallgemeinerte Kettenbruchdarstellungen, die durch eine einfache Regel erzeugt werden, einschließlich dieser beiden.

(Andere Darstellungen sind auf der Wolfram Functions Site verfügbar.)

Zahlentheorie

Einige Ergebnisse aus der Zahlentheorie:

• Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei zufällig ausgewählte ganze Zahlen teilerfremd sind, ist 6/ Pi ^zwei .

• Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte ganze Zahl quadratfrei ist, ist 6/ Pi ^zwei .

• Die durchschnittliche Anzahl von Möglichkeiten, eine positive ganze Zahl als Summe zweier perfekter Quadrate zu schreiben (die Reihenfolge ist wichtig, aber nicht das Vorzeichen), ist Pi /4.

Hier werden 'Wahrscheinlichkeit', 'Durchschnitt' und 'Zufall' in einem einschränkenden Sinn genommen, z. betrachten wir die Wahrscheinlichkeit für die Menge der ganzen Zahlen {1, 2, 3,…, N }, und nehmen Sie dann die Grenze als N nähert sich der Unendlichkeit.

• Das Produkt von (1 − 1/ p ^zwei ) über dem Primzahlen , p , ist 6/ Pi ^zwei .

Die Theorie der elliptischen Kurven und der komplexen Multiplikation leitet die Annäherung ab

was bis etwa 30 Stellen gültig ist.

Dynamische Systeme und Ergodentheorie

Betrachten Sie die Wiederholungsbeziehung

Dann für fast jeden Anfangswert x ₀ im Einheitsintervall [0,1],

Diese Wiederholungsrelation ist die logistische Abbildung mit Parameter r = 4, bekannt aus der Theorie dynamischer Systeme. Siehe auch: Ergodentheorie.

Physik

Die Nummer Pi taucht routinemäßig in Gleichungen auf, die grundlegende Prinzipien des Universums beschreiben, nicht zuletzt aufgrund seiner Beziehung zur Natur des Kreises und entsprechend zu sphärischen Koordinatensystemen.

• Die kosmologische Konstante:

• Heisenbergsche Unschärferelation:

• Einsteins Feldgleichung der Allgemeinen Relativitätstheorie:

• Coulomb-Gesetz für die elektrische Kraft:

• Magnetische Permeabilität des freien Raums:

Wahrscheinlichkeit und Statistik

In Wahrscheinlichkeit u Statistiken , es gibt viele Distributionen, deren Formeln enthalten Pi , einschließlich:

• Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (pdf) für die Normalverteilung mit Mittelwert μ und Standardabweichung σ:

• pdf für die (Standard-)Cauchy-Verteilung:

Beachten Sie das seit , für jedes pdf f ( x ), können die obigen Formeln verwendet werden, um andere Integralformeln für zu erstellen Pi .

Eine halbwegs interessante empirische Annäherung an Pi basiert auf dem Nadelproblem von Buffon. Erwägen Sie, eine Nadel der Länge fallen zu lassen L wiederholt auf einer Fläche, die parallele Linien enthält, gezeichnet S Einheiten auseinander (mit S > L ). Wenn die Nadel heruntergefallen ist n mal und x jener Zeiten kommt es darauf an, eine Linie zu überschreiten ( x > 0), dann darf man sich annähern Pi mit:

[In der Praxis ist diese Annäherung schlecht und konvergiert sehr langsam.]

Eine weitere Annäherung an Pi besteht darin, Punkte zufällig in einen Viertelkreis mit Radius 1 zu werfen, der einem Quadrat der Länge 1 einbeschrieben ist. Pi , die Fläche eines Einheitskreises, wird dann angenähert als 4*(Punkte im Viertelkreis) / (Gesamtpunkte).

Effiziente Methoden

In den Anfangsjahren des Computers entstand die erste Erweiterung von Pi auf 100.000 Dezimalstellen wurde 1961 vom Maryland-Mathematiker Dr. Daniel Shanks und seinem Team am United States Naval Research Laboratory (N.R.L.) berechnet. Dr. Shanks' Sohn Oliver Shanks, ebenfalls Mathematiker, gibt an, dass es keine familiäre Verbindung zu William Shanks gibt , und tatsächlich liegen die Wurzeln seiner Familie in Mitteleuropa.

Daniel Shanks und sein Team verwendeten zwei verschiedene Potenzreihen zur Berechnung des Digitalen von Pi . Zum einen war bekannt, dass jeder Fehler einen leicht hohen Wert erzeugen würde, und zum anderen war bekannt, dass jeder Fehler einen leicht niedrigen Wert erzeugen würde. Und daher gab es ein sehr hohes Vertrauen, dass sie richtig waren, solange die beiden Reihen die gleichen Ziffern produzierten. Die ersten 100.000 Ziffern von Pi wurden vom US Naval Research Laboratory veröffentlicht

Keine der oben angegebenen Formeln kann als effiziente Näherungsmethode dienen Pi . Für schnelle Berechnungen kann man eine Formel wie die von Machin verwenden:

zusammen mit der Taylor-Reihenentwicklung der Funktion arctan( x ). Diese Formel lässt sich am einfachsten anhand von Polarkoordinaten komplexer Zahlen überprüfen, beginnend mit

Formeln dieser Art sind als bekannt Maschinenähnliche Formeln .

Viele andere Ausdrücke für Pi wurden von dem unglaublich intuitiven indischen Mathematiker Srinivasa Ramanujan entwickelt und veröffentlicht. Er arbeitete einige Jahre mit dem Mathematiker Godfrey Harold Hardy in England zusammen.

Extrem lange Dezimalerweiterungen von Pi werden typischerweise mit dem Gauß-Legendre-Algorithmus und dem Borwein-Algorithmus berechnet; auch der 1976 erfundene Salamin-Brent-Algorithmus wurde verwendet.

Die erste eine Million Stellen von Pi und 1/ Pi sind vom Projekt Gutenberg erhältlich (siehe externe Links unten). Der Rekord vom Dezember 2002 von Yasumasa Kanada von der Tokyo University liegt bei 1.241.100.000.000 Stellen, die im September 2002 auf einem Hitachi-Supercomputer mit 64 Knoten und 1 Terabyte Hauptspeicher berechnet wurden, der mit 2 Billionen Operationen pro Sekunde fast doppelt so viele ausführt wie der Computer, der für den vorherigen Rekord (206 Milliarden Stellen) verwendet wurde. Dazu wurden die folgenden Machin-ähnlichen Formeln verwendet:

K. Takano (1982).

F.C.W. Störmer (1896).

Diese Annäherungen haben so viele Ziffern, dass sie keinen praktischen Nutzen mehr haben, außer zum Testen neuer Supercomputer. ( Normalität von Pi hängt immer von der unendlichen Ziffernfolge am Ende ab, nicht von einer endlichen Berechnung.)

1997 veröffentlichten David H. Bailey, Peter Borwein und Simon Plouffe eine Arbeit (Bailey, 1997) über eine neue Formel für Pi als unendliche Reihe:

Diese Formel erlaubt es, ziemlich leicht die zu berechnen k ^th binäre oder hexadezimale Ziffer von Pi , ohne das Vorhergehende berechnen zu müssen k − 1 Ziffern. Die Website von Bailey enthält die Ableitung sowie Implementierungen in verschiedenen Programmiersprachen . Das PiHex-Projekt berechnete 64-Bits um das billiardste Bit von Pi (was sich als 0 herausstellt).

Fabrice Bellard behauptet, mit seiner Formel zur Berechnung von Binärziffern den Effizienzrekord von Bailey, Borwein und Plouffe geschlagen zu haben Pi :

Andere Formeln, die zur Berechnung von Schätzungen verwendet wurden Pi enthalten:

Newton .

Ramanujan.

Diese konvergiert außerordentlich schnell. Ramanujans Arbeit ist die Grundlage für die schnellsten Algorithmen, mit denen seit der Jahrtausendwende gerechnet wird Pi .

David Chudnovsky und Gregory Chudnovsky.

Ziffern merken

In den letzten Jahrzehnten ist die Rekordzahl der auswendig gelernten Ziffern sprunghaft angestiegen.

Noch lange bevor Computer gerechnet haben Pi , Auswendiglernen a Aufzeichnung Die Anzahl der Ziffern wurde für manche Menschen zu einer Obsession. Der aktuelle Weltrekord liegt bei 100.000 Dezimalstellen, aufgestellt am 3. Oktober 2006 von Akira Haraguchi. Der vorherige Rekord (83.431) wurde von derselben Person am 2. Juli 2005 aufgestellt, und der vorherige Rekord (42.195) wurde von Hiroyuki Goto gehalten.

Es gibt viele Möglichkeiten, sich zu merken Pi , einschließlich der Verwendung von Stücke , das sind Gedichte, die darstellen Pi so, dass die Länge jedes Wortes (in Buchstaben) eine Ziffer darstellt. Hier ist ein Beispiel für ein Piem: Wie ich einen Drink brauche, alkoholischer Natur (oder: Natürlich ) , nach den schweren Vorlesungen über Quantenmechanik. Beachten Sie, dass das erste Wort 3 Buchstaben hat, das zweite Wort 1, das dritte 4, das vierte 1, das fünfte 5 und so weiter. Das Cadäische Kadenz enthält die ersten 3834 Ziffern von Pi auf diese Weise. Piems beziehen sich auf das gesamte Feld der humorvollen, aber ernsthaften Studien, die die Verwendung von mnemonischen Techniken beinhalten, um sich an die Ziffern von zu erinnern Pi , bekannt als Epiphilologie. Beispiele finden Sie unter Pi-Mnemonik. In anderen Sprachen gibt es ähnliche Methoden des Auswendiglernens. Diese Methode erweist sich jedoch für große Speicherungen von pi als ineffizient. Andere Methoden umfassen das Merken von 'Mustern' in den Zahlen (zum Beispiel erscheint das 'Jahr' 1971 in den ersten fünfzig Stellen von pi).

Offene Fragen

Die drängendste offene Frage zu Pi ist, ob es sich um eine normale Nummer handelt – ob irgendein Ziffernblock in der Erweiterung von vorkommt Pi so oft, wie man es statistisch erwarten würde, wenn die Ziffern völlig 'zufällig' entstanden wären, und das stimmt auch jeder Basis, nicht nur Basis 10. Das derzeitige Wissen zu diesem Punkt ist sehr schwach; z.B. ist nicht einmal bekannt, welche der Ziffern 0,…,9 unendlich oft in der Dezimalerweiterung von vorkommen Pi .

Bailey und Crandall zeigten im Jahr 2000, dass die Existenz der oben erwähnten Bailey-Borwein-Plouffe-Formel und ähnlicher Formeln impliziert, dass die Normalität in Basis 2 von Pi und verschiedene andere Konstanten können auf eine plausible Vermutung der Chaostheorie reduziert werden. Einzelheiten finden Sie auf der oben genannten Website von Bailey.

Es ist auch nicht bekannt, ob Pi und und sind algebraisch unabhängig. Es ist jedoch bekannt, dass mindestens einer von π und Pi + und transzendent ist (siehe Satz von Lindemann-Weierstraß).

Natürlichkeit

In der nichteuklidischen Geometrie kann die Summe der Winkel eines Dreiecks größer oder kleiner sein als Pi Bogenmaß, und das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser kann ebenfalls von abweichen Pi . An der Definition von ändert sich dadurch nichts Pi , aber es wirkt sich auf viele Formeln aus, in denen Pi erscheint. Also insbesondere Pi wird nicht von der Form des Universums beeinflusst; es ist keine physikalische Konstante, sondern eine mathematische Konstante, die unabhängig von physikalischen Messungen definiert wird. Trotzdem kommt es in der Physik häufig vor.

Betrachten Sie zum Beispiel Coulomb-Gesetz (SI-Einheiten)

.

Hier, 4 πr ^zwei ist nur die Oberfläche der Sphäre des Radius r . In dieser Form ist es eine bequeme Möglichkeit, das umgekehrte quadratische Verhältnis der Kraft in einer Entfernung zu beschreiben r aus einer Punktquelle. Es wäre natürlich möglich, dieses Gesetz auf andere, aber weniger bequeme Weise oder in einigen Fällen bequemer zu beschreiben. Wenn die Planck-Ladung verwendet wird, kann sie geschrieben werden als

und somit die Notwendigkeit beseitigen Pi .

Kleinigkeiten

• 14. März (3/14 in UNS. Datumsformat) markiert den Pi-Tag, der von vielen Liebhabern gefeiert wird Pi . Ist es übrigens auch Einstein 's Geburtstag.
• Am 22. Juli wird der Pi-Annäherungstag gefeiert (22/7 – im europäischen Datumsformat – ist eine beliebte Annäherung an Pi ). Beachten Sie, dass einige andere Tage als Pi-Annäherungstag gefeiert werden.
• ³⁵⁵ ⁄ ₁₁₃ (~3.1415929) wird manchmal scherzhaft als 'nicht' bezeichnet Pi , aber eine unglaubliche Simulation!'
• Das Album „Aerial“ von Sängerin Kate Bush aus dem Jahr 2005 enthält einen Song mit dem Titel „ Pi “, in dem sie singt Pi bis zur 137. Dezimalstelle; jedoch lässt sie aus einem unbekannten Grund die 79. bis 100. Dezimalstelle weg. Ihr ging bei dieser Leistung mehrere Jahre ein schwedischer Indie-Mathe-Lyrics-Künstler mit dem Spitznamen Matthew Matics voraus, der ungefähr an derselben Stelle in der Serie die Dezimalzahlen aus den Augen verliert.
• Der schwedische Jazzmusiker Karl Sjölin hat einmal ein Lied geschrieben, aufgenommen und aufgeführt, das auf Pi basiert und es heißt. Das Lied folgte den Dezimalstellen von Pi, wobei jede Zahl eine bestimmte Note darstellte. Zum Beispiel 1=C, 2=D, 3=E usw. Das Lied wurde dann als Jazz-Song aufgeführt, wodurch die Harmonie liberaler wurde.
• John Harrison (1693–1776) (berühmt für den Gewinn des Längengradpreises) entwickelte ein mitteltöniges Temperament-Musikstimmungssystem, das von abgeleitet ist Pi , jetzt Lucy Tuning genannt.
• Benutzer der A9.com Suchmaschine waren für eine berechtigt amazon.com Programm mit Rabatten von ( Pi /2)% auf Einkäufe.
• Das Lied ' Eighteen Wheels on a Big Rig ' von Heywood Banks hat die Sänger im letzten Vers pi zählen; Sie erreichen 'achthundert Milliarden', bevor sie in den Refrain übergehen.
• 1932 bewies Stanisław Gołąb, dass das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser immer zwischen 3 und 4 liegt, wenn eine Einheitsscheibe mit einer nicht standardmäßigen Norm als 'Abstand' definiert wird. diese Werte werden genau dann erreicht, wenn die Einheit 'Kreis' die Form eines regelmäßigen Sechsecks bzw. eines Parallelogramms hat. Einzelheiten finden Sie auf der Geräte-Disc.
• John Squire (von The Stone Roses) erwähnt Pi in einem Lied namens 'Something Tells Me', das für seine zweite Band The Seahorses geschrieben wurde. Das Lied wurde vollständig von der gesamten Band aufgenommen und erscheint auf dem Bootleg der nie veröffentlichten Aufnahmen des zweiten Albums. Das Lied endet mit dem Text: „ Was ist das Geheimnis des Lebens? Es ist 3.14159265, ja ja!! '
• Hard 'n Phirms vierter Track auf Horses and Grasses ist 'Pi' (dem 'An Intro' vorangestellt ist, das das Thema wie eine lehrreiche Fernsehsendung behandelt). Viele Ziffern werden dadurch rezitiert, und ein davon inspiriertes Video erschien online.
• Es gibt ein Gebäude im Googleplex mit der Nummer 3.14159...
• 1897 verabschiedete die Generalversammlung von Indiana einen Gesetzentwurf, aus dem abgeleitet werden konnte, dass pi gleich 3,2 oder anderen falschen Werten war. Der Senat von Indiana hat das Gesetz auf unbestimmte Zeit verschoben und verhindert, dass es Gesetz wird.
• Die Bloodhound Gang hat einen Song namens „Three Point One Four“
• Daniel Tammet hält den europäischen Rekord für das Erinnern und Erzählen von Pi, indem er es am 14. März 2004 in etwas mehr als 5 Stunden bis zur 22.514. Stelle aufzählte.
• In der Weebl- und Bob-Folge „Aufruhr“ gibt Weebl an, dass er nur „für 3,14 Torten“ kämpft.