Mathematik

Euklid , griechischer Mathematiker, 3. Jh. v. Chr., heute als Vater der Geometrie bekannt; hier im Detail dargestellt Die Schule von Athen durch Raffael .

Mathematik (umgangssprachlich Mathe , oder Mathematik in amerikanisches Englisch ) ist der Wissensbestand, der sich auf Konzepte wie z Anzahl , Struktur, Raum und Wandel und die akademische Disziplin, die sie untersucht; Benjamin Peirce nannte es „die Wissenschaft, die notwendige Schlussfolgerungen zieht“. Es entwickelte sich durch die Verwendung von Abstraktion und logisch Argumentieren, aus Zählen, Rechnen, Messung , und das Studium der Formen und Bewegungen von physischen Objekten. Mathematiker erforschen solche Konzepte mit dem Ziel, neue Vermutungen zu formulieren und ihre Wahrheit durch rigorose Deduktion aus angemessen ausgewählten Axiomen und Definitionen festzustellen.

Die Kenntnis und Anwendung grundlegender Mathematik war schon immer ein inhärenter und integraler Bestandteil des individuellen und Gruppenlebens. Verfeinerungen der Grundideen sind in alten mathematischen Texten sichtbar, die ihren Ursprung in haben antikes Ägypten , Mesopotamien , das alte Indien und das alte China, mit erhöhter Strenge, die später von den alten Griechen eingeführt wurden. Von diesem Zeitpunkt an ging die Entwicklung in kurzen Schüben weiter bis zum Renaissance Zeitraum der 16. Jahrhundert wo mathematische Innovationen mit neuen wissenschaftlichen Entdeckungen interagierten, was zu einer Beschleunigung des Verständnisses führte, die bis heute andauert.

Heute wird Mathematik auf der ganzen Welt in vielen Bereichen eingesetzt, darunter Wissenschaft , Ingenieurwesen , Medizin und Wirtschaft . Die Anwendung der Mathematik auf solche Bereiche, oft als bezeichnet angewandte Mathematik , inspiriert und nutzt neue mathematische Entdeckungen und hat manchmal zur Entwicklung völlig neuer Disziplinen geführt. Mathematiker beschäftigen sich auch mit reiner Mathematik um ihrer selbst willen, ohne eine praktische Anwendung im Sinn zu haben, obwohl Anwendungen für das, was als reine Mathematik beginnt, oft erst später entdeckt werden.

Etymologie

Das Wort „Mathematik“ (griechisch: матичита) stammt aus dem Griechischen coolhema ), was bedeutet Lernen , lernen , Wissenschaft , und bekam auch in der Antike die engere und technischere Bedeutung 'mathematisches Studium'. Sein Adjektiv ist μαθηματικός ( Mathematiker ), im Zusammenhang mit Lernen , oder fleißig , was ebenfalls weiter zur Bedeutung kam mathematisch . Im Speziellen, mathematische Kunst ( mathēmatikḗ tekhnē ), in Latein ars mathematica , gemeint die mathematische Kunst . Die scheinbare Pluralform in Englisch , wie Französisch Plural Mathematik (und die weniger häufig verwendete singuläre Ableitung Mathematik ), geht auf das lateinische Neutrum Plural zurück Mathematik ( Cicero), basierend auf dem griechischen Plural Mathematik ( Die Mathematik ), benutzt von Aristoteles , und bedeutet ungefähr 'alle mathematischen Dinge'.

Trotz der Form und Etymologie ist das Wort Mathematik , wie die Namen von Künsten und Wissenschaften im Allgemeinen, wird heute im Englischen als Massennomen im Singular verwendet. Die umgangssprachlichen englischsprachigen Kurzformen verewigen diese Singular / Plural-Eigenart, wie das Wort abgekürzt wird Mathematik in nordamerikanischem Englisch, während es ist Mathe anderswo (inkl Großbritannien , Irland, Australien und andere Commonwealth-Länder).

Geschichte

Ein Quipu, ein Zählgerät, das von den verwendet wird Noch .

Die Evolution der Mathematik kann als eine ständig wachsende Reihe von Abstraktionen oder alternativ als eine Erweiterung des Gegenstandsbereichs angesehen werden. Die erste Abstraktion war wahrscheinlich die von Zahlen . Die Erkenntnis, dass zwei Äpfel und zwei Birnen etwas gemeinsam haben, war ein Durchbruch im menschlichen Denken. Neben dem Erkennen, wie man zählt körperlich Objekten erkannten prähistorische Völker auch das Zählen abstrakt Mengen, wie Zeit — Tage , Jahreszeiten , Jahre. Arithmetik (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division), natürlich gefolgt. Monolithische Denkmäler zeugen von der Kenntnis Geometrie .

Weitere Schritte erforderlich Schreiben oder ein anderes System zum Aufzeichnen von Zahlen wie Strichlisten oder die geknoteten Schnüre namens Quipu, die vom Inka-Reich zum Speichern numerischer Daten verwendet werden. Zahlensysteme waren zahlreich und vielfältig.

Von den Anfängen der aufgezeichneten Geschichte an entstanden die Hauptdisziplinen innerhalb der Mathematik aus der Notwendigkeit, Berechnungen in Bezug auf Steuern und Handel durchzuführen, die Beziehungen zwischen Zahlen zu verstehen, Land zu messen und Vorhersagen zu treffen astronomische Ereignisse . Diese Bedürfnisse lassen sich grob auf die grobe Unterteilung der Mathematik in das Studium der Mathematik beziehen Anzahl , Struktur , Platz , und Rückgeld .

Die Mathematik wurde seitdem stark erweitert, und es gab eine fruchtbare Wechselwirkung zwischen Mathematik und Naturwissenschaften zum Nutzen beider. Mathematische Entdeckungen wurden im Laufe der Geschichte gemacht und werden auch heute noch gemacht. Laut Mikhail B. Sevryuk in der Januarausgabe 2006 des Bulletin der American Mathematical Society „beträgt die Anzahl der seit 1940 (dem ersten Betriebsjahr von MR) in der Datenbank Mathematical Reviews enthaltenen Artikel und Bücher jetzt mehr als 1,9 Millionen, und jedes Jahr werden der Datenbank mehr als 75.000 Einträge hinzugefügt. Die überwältigende Mehrheit der Werke in diesem Ozean enthält neue mathematische Theoreme und ihre Beweise.“

Inspiration, reine und angewandte Mathematik und Ästhetik

Herr Isaac Newton (1643-1727), Erfinder der Infinitesimalrechnung.

Mathematik entsteht überall dort, wo es um schwierige Probleme geht, bei denen es um Quantität, Struktur, Raum oder Veränderung geht. Diese fanden sich zunächst im Handel, in der Landvermessung und später Astronomie ; Heutzutage schlagen alle Wissenschaften Probleme vor, die von Mathematikern untersucht werden, und viele Probleme entstehen innerhalb der Mathematik selbst. Newton war einer der Erfinder der Infinitesimalrechnung, Feynman erfand das Feynman-Pfadintegral mit einer Kombination aus Argumentation und physikalischer Einsicht und dem heutigen Stringtheorie inspiriert auch neue Mathematik. Ein Teil der Mathematik ist nur in dem Bereich relevant, der sie inspiriert hat, und wird angewendet, um weitere Probleme in diesem Bereich zu lösen. Aber oft erweist sich die von einem Bereich inspirierte Mathematik in vielen Bereichen als nützlich und reiht sich in den allgemeinen Bestand mathematischer Konzepte ein. Die bemerkenswerte Tatsache, dass selbst die „reinste“ Mathematik oft praktische Anwendungen hat, ist das, was Eugene Wigner „die unvernünftige Effektivität der Mathematik“ genannt hat.

Wie in den meisten Studienbereichen hat die Wissensexplosion im wissenschaftlichen Zeitalter zu einer Spezialisierung in der Mathematik geführt. Ein wesentlicher Unterschied besteht zwischen reiner Mathematik und angewandte Mathematik . Mehrere Bereiche der angewandten Mathematik haben sich mit verwandten Traditionen außerhalb der Mathematik verschmolzen und sind zu eigenständigen Disziplinen geworden, darunter Statistiken , Betriebsforschung und Informatik .

Viele Mathematiker sprechen über die Eleganz der Mathematik, seine intrinsische Ästhetik und innere Schönheit. Einfachheit und Allgemeingültigkeit werden geschätzt. Es gibt Schönheit auch in einem klugen Beweis, wie z Euklid ist der Beweis, dass es unendlich viele gibt Primzahlen , und in einem numerischen Verfahren, das die Berechnung beschleunigt, wie z. B. der schnellen Fourier-Transformation. G. H. Hardy ein Die Entschuldigung eines Mathematikers drückte die Überzeugung aus, dass diese ästhetischen Erwägungen an sich ausreichen, um das Studium der reinen Mathematik zu rechtfertigen.

Notation, Sprache und Strenge

In der modernen Notation können einfache Ausdrücke komplexe Konzepte beschreiben. Dieses Bild wird durch eine einzige Gleichung erzeugt.

Die meisten mathematischen Notationen, die wir heute verwenden, wurden erst im 19. Jahrhundert erfunden 16. Jahrhundert . Davor wurde Mathematik in Worten niedergeschrieben, ein mühsamer Prozess, der mathematische Entdeckungen einschränkte. Die moderne Notation macht die Mathematik für den Profi viel einfacher, aber Anfänger finden sie oft entmutigend. Es ist extrem komprimiert: Wenige Symbole enthalten viele Informationen. Wie die Musiknotation hat auch die moderne mathematische Notation eine strenge Syntax und codiert Informationen, die auf andere Weise schwer zu schreiben wären.

Mathematisch Sprache ist auch für anfänger schwer. Wörter wie oder und nur haben genauere Bedeutungen als in der Alltagssprache. Auch für Anfänger verwirrend, Wörter wie offen und aufstellen haben spezialisierte mathematische Bedeutungen erhalten. Der mathematische Jargon umfasst Fachbegriffe wie z Homöomorphismus und integrierbar . Es wurde gesagt, dass Henri Poincaré nur in die Académie française gewählt wurde, damit er ihnen sagen konnte, wie man definiert automorphe in ihrem Wörterbuch. Aber es gibt einen Grund für spezielle Notation und Fachjargon: Mathematik erfordert mehr Präzision als die Alltagssprache. Mathematiker bezeichnen diese Präzision von Sprache und Logik als „Strenge“.

Rigorosität ist grundsätzlich eine Frage des mathematischen Beweises. Mathematiker wollen, dass ihre Theoreme durch systematisches Denken aus Axiomen folgen. Dies dient dazu, falsche „Theoreme“ zu vermeiden, die auf fehlbaren Intuitionen beruhen, von denen viele Beispiele in der Geschichte des Themas aufgetreten sind. Das in der Mathematik erwartete Strengeniveau hat sich im Laufe der Zeit verändert: Die Griechen erwarteten detaillierte Argumente, aber zum Zeitpunkt der Isaac Newton die angewandten Methoden waren weniger streng. Probleme, die den von Newton verwendeten Definitionen innewohnen, führten im 19. Jahrhundert zu einem Wiederaufleben sorgfältiger Analysen und formaler Beweise. Noch heute streiten sich Mathematiker untereinander über computergestützte Beweise. Da große Berechnungen schwer zu verifizieren sind, sind solche Beweise möglicherweise nicht streng genug.

Axiome im traditionellen Denken waren 'selbstverständliche Wahrheiten', aber diese Konzeption ist problematisch. Auf formaler Ebene ist ein Axiom nur eine Aneinanderreihung von Symbolen, die nur im Kontext aller ableitbaren Formeln eines Axiomensystems eine intrinsische Bedeutung hat. Es war das Ziel von Hilberts Programm, die gesamte Mathematik auf eine feste axiomatische Basis zu stellen, aber nach Gödels Unvollständigkeitssatz hat jedes (hinreichend mächtige) axiomatische System unentscheidbare Formeln; und damit ist eine endgültige Axiomatisierung der Mathematik unmöglich. Nichtsdestotrotz wird Mathematik (was ihren formalen Inhalt anbelangt) oft als nichts anderes als Mengenlehre in einer Art Axiomatisierung angesehen, in dem Sinne, dass jede mathematische Aussage oder jeder Beweis innerhalb der Mengenlehre in Formeln gegossen werden könnte.

Mathematik als Wissenschaft

Carl Friedrich Gauß , obwohl er als 'Fürst der Mathematiker' bekannt war, glaubte nicht, dass Mathematik ein eigenständiges Studium wert sei.

Carl Friedrich Gauß bezeichnete die Mathematik als „Königin der Wissenschaften“. Im lateinischen Original Königin der Wissenschaften , sowie im Deutsch Königin der Wissenschaften , das entsprechende Wort Wissenschaft bedeutet (Wissensgebiet). Tatsächlich ist dies auch die ursprüngliche Bedeutung im Englischen, und es besteht kein Zweifel, dass Mathematik in diesem Sinne eine Wissenschaft ist. Die Spezialisierung beschränkt die Bedeutung auf natürlich Wissenschaft ist späteren Datums. Wenn man bedenkt Wissenschaft streng auf die physikalische Welt zu beziehen, dann ist Mathematik, oder zumindest reine Mathematik, keine Wissenschaft. Albert Einstein hat das gesagt „Soweit sich die Gesetze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sind sie nicht sicher; und soweit sie sicher sind, beziehen sie sich nicht auf die Wirklichkeit. '

Viele Philosophen glauben, dass Mathematik nicht experimentell falsifizierbar und damit keine Wissenschaft im Sinne von ist Karl Popper . In den 1930er Jahren zeigten jedoch wichtige Arbeiten zur mathematischen Logik, dass Mathematik nicht auf Logik reduziert werden kann, und Karl Popper kam zu dem Schluss, dass „die meisten mathematischen Theorien wie die der Physik und Biologie hypothetisch-deduktiv sind: Die reine Mathematik erweist sich daher als viel näher den Naturwissenschaften, deren Hypothesen Vermutungen sind, als es noch vor kurzem schien.' Andere Denker, insbesondere Imre Lakatos, haben eine Version des Falsifikationismus auf die Mathematik selbst angewendet.

Eine alternative Ansicht ist, dass bestimmte wissenschaftliche Bereiche (wie die theoretische Physik) Mathematik mit Axiomen sind, die der Realität entsprechen sollen. Tatsächlich hat der theoretische Physiker J. M. Ziman vorgeschlagen, dass die Wissenschaft eine ist Öffentliche Kenntnisse und schließt damit Mathematik ein. Auf jeden Fall hat die Mathematik viel mit vielen Bereichen der Naturwissenschaften gemeinsam, insbesondere mit der Erforschung der logischen Konsequenzen von Annahmen. Intuition und Experimentieren spielen auch bei der Formulierung von Vermutungen sowohl in der Mathematik als auch in den (anderen) Naturwissenschaften eine Rolle. Die experimentelle Mathematik gewinnt innerhalb der Mathematik immer mehr an Bedeutung, und Berechnung und Simulation spielen sowohl in den Naturwissenschaften als auch in der Mathematik eine zunehmende Rolle, was den Einwand entkräftet, dass die Mathematik nicht die wissenschaftliche Methode verwendet. In seinem Buch von 2002 Eine neue Art von Wissenschaft , argumentiert Stephen Wolfram, dass Computermathematik es verdient, als eigenständiges Wissenschaftsgebiet empirisch erforscht zu werden.

Die Meinungen der Mathematiker zu diesem Thema sind unterschiedlich. Während einige drin sind angewandte Mathematik fühlen, dass sie Wissenschaftler sind, fühlen sich diejenigen in reiner Mathematik oft, dass sie in einem Bereich arbeiten, der dem ähnlicher ist Logik und dass sie es daher grundsätzlich sind Philosophen . Viele Mathematiker sind der Meinung, dass die Bezeichnung ihres Fachgebiets als Wissenschaft die Bedeutung ihrer ästhetischen Seite und ihrer Geschichte in den traditionellen sieben freien Künsten herunterspielen würde; andere sind der Meinung, dass das Ignorieren ihrer Verbindung zu den Wissenschaften bedeutet, die Augen vor der Tatsache zu verschließen, dass die Schnittstelle zwischen Mathematik und ihren Anwendungen in Wissenschaft und Ingenieurwesen hat viele Entwicklungen in der Mathematik vorangetrieben. Eine Art und Weise, wie sich dieser Meinungsunterschied auswirkt, ist die philosophische Debatte darüber, ob Mathematik eine ist erstellt (wie in der Kunst) oder entdeckt (wie in der Wissenschaft). Es ist üblich zu sehen Universitäten unterteilt in Abschnitte, die eine Aufteilung von enthalten Naturwissenschaften und Mathematik , was darauf hinweist, dass die Felder als verbunden angesehen werden, aber nicht zusammenfallen. In der Praxis werden Mathematiker auf grober Ebene typischerweise mit Wissenschaftlern gruppiert, auf feineren Ebenen jedoch getrennt. Dies ist eine von vielen Fragen, die in der Philosophie der Mathematik berücksichtigt werden.

Mathematische Auszeichnungen werden im Allgemeinen von ihren Äquivalenten in der Wissenschaft getrennt gehalten. Die prestigeträchtigste Auszeichnung in Mathematik ist die Fields-Medaille, die 1936 eingeführt wurde und jetzt alle 4 Jahre verliehen wird. Es wird normalerweise als Äquivalent zum Nobelpreis der Wissenschaft angesehen. Eine weitere wichtige internationale Auszeichnung, der Abel-Preis, wurde 2003 eingeführt. Beide werden für eine bestimmte Arbeit verliehen, entweder für Innovationen in einem neuen Bereich der Mathematik oder für die Lösung eines herausragenden Problems in einem etablierten Bereich. Eine berühmte Liste von 23 solchen offenen Problemen, genannt „Hilbertsche Probleme“, wurde 1900 von einem deutschen Mathematiker zusammengestellt David Hilbert . Diese Liste erlangte große Berühmtheit unter Mathematikern, und mindestens neun der Probleme sind inzwischen gelöst. Eine neue Liste von sieben wichtigen Problemen mit dem Titel „Millennium Prize Problems“ wurde im Jahr 2000 veröffentlicht. Die Lösung jedes dieser Probleme bringt eine Belohnung von 1 Million Dollar mit sich, und nur eines (die Riemann-Hypothese) ist in Hilberts Problemen dupliziert.

Bereiche der Mathematik

Die frühe Mathematik befasste sich ausschließlich mit der Notwendigkeit, praktische Berechnungen durchzuführen, wie sich in diesem Chinesisch widerspiegelt Abakus .

Wie oben erwähnt, entstanden die Hauptdisziplinen innerhalb der Mathematik zunächst aus der Notwendigkeit, Berechnungen im Handel durchzuführen, die Beziehungen zwischen Zahlen zu verstehen, Land zu messen und Vorhersagen zu treffen astronomisch Veranstaltungen. Diese vier Bedürfnisse können grob mit der breiten Unterteilung der Mathematik in das Studium von Quantität, Struktur, Raum und Veränderung (d. h. Arithmetik , Algebra , Geometrie , und Analyse ). Neben diesen Hauptanliegen gibt es auch Unterabteilungen, die sich der Erforschung von Verbindungen vom Herzen der Mathematik zu anderen Bereichen widmen: zur Logik, zur Mengenlehre ( Grundlagen), zur empirischen Mathematik der verschiedenen Wissenschaften ( angewandte Mathematik ) und in jüngerer Zeit zur rigorosen Untersuchung der Unsicherheit.

Menge

Das Studium der Quantität beginnt mit Zahlen , zuerst die bekannten natürlichen Zahlen und ganzen Zahlen ('ganze Zahlen') und arithmetische Operationen auf ihnen, die in gekennzeichnet sind Arithmetik . Die tieferen Eigenschaften ganzer Zahlen werden in der Zahlentheorie untersucht, woraus so populäre Ergebnisse wie der letzte Satz von Fermat resultieren. Die Zahlentheorie enthält auch zwei weithin betrachtete ungelöste Probleme: die Primzahlzwillingsvermutung und die Goldbachsche Vermutung.

Bei der Weiterentwicklung des Zahlensystems werden die ganzen Zahlen als Teilmenge der rationalen Zahlen ('Bruchzahlen') erkannt. Diese wiederum sind in den reellen Zahlen enthalten, die zur Darstellung kontinuierlicher Größen verwendet werden. Reelle Zahlen werden zu komplexen Zahlen verallgemeinert. Dies sind die ersten Schritte einer Zahlenhierarchie, die später Viertelnionen und Oktonionen enthält. Die Betrachtung der natürlichen Zahlen führt auch zu den transfiniten Zahlen, die den Begriff des Zählens bis unendlich formalisieren. Ein weiteres Studiengebiet ist die Größe, was zu den Kardinalzahlen und dann zu einer anderen Vorstellung von Unendlichkeit führt: den Aleph-Zahlen, die einen sinnvollen Vergleich der Größe unendlich großer Mengen ermöglichen.

Natürliche Zahlen	Ganze Zahlen	Rationale Zahlen	Reale Nummern	Komplexe Zahlen

Struktur

Viele mathematische Objekte, wie z setzt von Zahlen und Funktionen, weisen eine innere Struktur auf. Die strukturellen Eigenschaften dieser Objekte werden in der Studie untersucht Gruppen , Ringe, Felder und andere abstrakte Systeme, die selbst solche Objekte sind. Dies ist das Gebiet der abstrakten Algebra. Ein wichtiges Konzept hier ist das von Vektoren, verallgemeinert auf Vektorräume und untersucht in Lineare Algebra . Das Studium von Vektoren kombiniert drei grundlegende Bereiche der Mathematik: Quantität, Struktur und Raum. Die Vektorrechnung erweitert das Feld um einen vierten fundamentalen Bereich, den der Veränderung.

Zahlentheorie	Abstrakte Algebra	Gruppentheorie	Ordnungstheorie

Platz

Das Studium des Weltraums entsteht mit Geometrie - im Speziellen, Euklidische Geometrie . Trigonometrie verbindet Raum und Zahl und umfasst das Bekannte Satz des Pythagoras . Das moderne Studium des Weltraums verallgemeinert diese Ideen, um höherdimensionale Geometrie, nichteuklidische Geometrien (die eine zentrale Rolle in der Allgemeinen Relativitätstheorie spielen) und Topologie . Quantität und Raum spielen beide eine Rolle in der analytischen Geometrie, der Differentialgeometrie und der algebraischen Geometrie. Innerhalb der Differentialgeometrie fallen die Begriffe Faserbündel und Infinitesimalrechnung auf Verteiler . Innerhalb der algebraischen Geometrie ist die Beschreibung geometrischer Objekte als Lösungsmengen von Polynomgleichungen, die die Konzepte von Menge und Raum kombinieren, sowie das Studium topologischer Gruppen, die Struktur und Raum kombinieren. Lügengruppen werden verwendet, um Raum, Struktur und Veränderung zu untersuchen. Topologie in all seinen vielen Verzweigungen war möglicherweise das größte Wachstumsgebiet in der Mathematik des 20. Jahrhunderts und umfasst die langjährige Poincaré-Vermutung und den umstrittenen Vierfarbensatz, dessen einziger Beweis, durch Computer, nie von einem Menschen verifiziert wurde.

Geometrie	Trigonometrie	Differentialgeometrie	Topologie	Fraktale Geometrie

Veränderung

Das Verstehen und Beschreiben von Wandel ist ein gemeinsames Thema in den Naturwissenschaften und Infinitesimalrechnung wurde als leistungsfähiges Werkzeug entwickelt, um es zu untersuchen. Funktionen entstehen hier als zentrales Konzept, das eine sich ändernde Größe beschreibt. Die rigorose Untersuchung von reellen Zahlen und reellwertigen Funktionen wird als reelle Analyse bezeichnet, wobei die komplexe Analyse das äquivalente Feld für die komplexen Zahlen ist. Die Riemann-Hypothese, eine der grundlegendsten offenen Fragen in der Mathematik, stammt aus der komplexen Analysis. Die Funktionsanalyse konzentriert die Aufmerksamkeit auf (typischerweise unendlich dimensionale) Räume von Funktionen. Eine von vielen Anwendungen der Funktionsanalyse ist Quantenmechanik . Viele Probleme führen auf natürliche Weise zu Beziehungen zwischen einer Größe und ihrer Änderungsrate, und diese werden als untersucht Differentialgleichung . Viele Phänomene in der Natur lassen sich durch dynamische Systeme beschreiben; Die Chaostheorie präzisiert die Art und Weise, in der viele dieser Systeme ein unvorhersehbares, aber immer noch deterministisches Verhalten zeigen.

Infinitesimalrechnung	Vektorrechnung	Differentialgleichung	Dynamische Systeme	Chaostheorie

Grundlagen und Philosophie

Um die Grundlagen der Mathematik zu verdeutlichen, wurden die Gebiete der mathematischen Logik und der Mengenlehre entwickelt.

Die mathematische Logik befasst sich damit, die Mathematik auf einen starren axiomatischen Rahmen zu setzen und die Ergebnisse eines solchen Rahmens zu untersuchen. Als solches beherbergt es Gödels zweiten Unvollständigkeitssatz, vielleicht das am weitesten verbreitete Ergebnis in der Logik, das (informell) impliziert, dass es immer wahre Sätze gibt, die nicht bewiesen werden können. Die moderne Logik gliedert sich in Rekursionstheorie, Modelltheorie und Beweistheorie und ist eng mit der Theorie verknüpft Informatik .

Mathematische Logik	Mengenlehre	Kategorientheorie

Diskrete Mathematik

Diskrete Mathematik ist die gebräuchliche Bezeichnung für die Bereiche der Mathematik, die in der theoretischen Informatik am allgemeinsten nützlich sind. Dazu gehören die Berechenbarkeitstheorie, die Berechnungskomplexitätstheorie und die Informationstheorie. Die Berechenbarkeitstheorie untersucht die Grenzen verschiedener theoretischer Modelle des Computers, einschließlich des leistungsstärksten bekannten Modells – der Turing-Maschine. Komplexitätstheorie ist das Studium der Lenkbarkeit durch Computer; Einige Probleme sind, obwohl sie theoretisch durch Computer lösbar sind, so zeit- oder platzaufwändig, dass ihre Lösung selbst bei raschem Fortschritt der Computerhardware wahrscheinlich praktisch nicht durchführbar bleibt. Schließlich befasst sich die Informationstheorie mit der Datenmenge, die auf einem bestimmten Medium gespeichert werden kann, und damit mit Begriffen wie Komprimierung und Entropie.

Als relativ neues Gebiet weist die diskrete Mathematik eine Reihe grundlegender offener Probleme auf. Das bekannteste davon ist das 'P=NP?' Problem, eines der Millennium-Preis-Probleme. Es wird allgemein angenommen, dass die Antwort auf dieses Problem nein ist.

Kombinatorik	Theorie der Berechnung	Kryptographie	Graphentheorie

Angewandte Mathematik

Angewandte Mathematik betrachtet den Einsatz abstrakter mathematischer Werkzeuge zur Lösung konkreter Probleme in der Wissenschaften , Geschäft , und andere Bereiche. Ein wichtiges Feld in der angewandten Mathematik ist Statistiken , die verwendet Wahrscheinlichkeitstheorie als Werkzeug und ermöglicht die Beschreibung, Analyse und Vorhersage von Phänomenen, bei denen der Zufall eine Rolle spielt. Die meisten Experimente, Umfragen und Beobachtungsstudien erfordern den informierten Einsatz von Statistiken. (Viele Statistiker betrachten sich jedoch nicht als Mathematiker, sondern eher als Teil einer verwandten Gruppe.) Die Numerische Analyse untersucht Berechnungsmethoden zur effizienten Lösung eines breiten Spektrums mathematischer Probleme, die normalerweise zu umfangreich für die menschliche Rechenkapazität sind. es beinhaltet die Untersuchung von Rundungsfehlern oder anderen Fehlerquellen bei der Berechnung.

Mathematische Physik • Analytische Mechanik • Mathematische Strömungslehre • Numerische Analysis • Optimierung • Wahrscheinlichkeit • Statistiken • Wirtschaftsmathematik • Finanzmathematik • Spieltheorie • Mathematische Biologie • Kryptographie • Unternehmensforschung

Häufige Missverständnisse

Mathematik ist kein geschlossenes intellektuelles System, in dem schon alles ausgearbeitet ist. An offenen Problemen mangelt es nicht.

Pseudomathematik ist eine Form mathematikähnlicher Aktivitäten, die außerhalb der Wissenschaft und gelegentlich von Mathematikern selbst durchgeführt werden. Sie besteht oft aus entschiedenen Angriffen auf berühmte Fragen, bestehend aus Beweisversuchen, die auf isolierte Weise unternommen werden (dh lange Abhandlungen, die nicht durch zuvor veröffentlichte Theorien gestützt werden). Das Verhältnis zur allgemein anerkannten Mathematik ist ähnlich dem zwischen Pseudowissenschaft und echter Wissenschaft. Die damit verbundenen Missverständnisse beruhen normalerweise auf:

• Missverständnis der Implikationen mathematischer Strenge;
• versucht, die üblichen Kriterien für die Veröffentlichung mathematischer Arbeiten in einer Fachzeitschrift nach Peer-Review zu umgehen, oft in der Annahme, dass die Zeitschrift gegen den Autor voreingenommen ist;
• mangelnde Vertrautheit mit und daher Unterschätzung der vorhandenen Literatur.

Der Fall von Kurt Heegners Arbeit zeigt, dass das mathematische Establishment weder unfehlbar noch unwillig ist, Fehler bei der Bewertung von „Amateur“-Arbeiten einzugestehen. Und wie Astronomie , verdankt die Mathematik Laien wie Fermat und Mersenne viel.

Beziehung zwischen Mathematik und physikalischer Realität

Mathematische Konzepte und Theoreme müssen nichts in der physikalischen Welt entsprechen. Soweit eine Entsprechung besteht, können Mathematiker und Physiker zwar vernünftig und intuitiv erscheinende Axiome und Postulate auswählen, es ist jedoch nicht erforderlich, dass die Grundannahmen innerhalb eines Axiomensystems im empirischen oder physikalischen Sinne wahr sind.

Während also die meisten Axiomensysteme aus unseren Wahrnehmungen und Experimenten abgeleitet werden, sind sie nicht von ihnen abhängig. Nichtsdestotrotz bleibt die Mathematik äußerst nützlich, um reale Probleme zu lösen. Diese Tatsache veranlasste Eugene Wigner, einen Aufsatz zu schreiben, Die unvernünftige Effektivität der Mathematik in den Naturwissenschaften .