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Gewöhnliche Differentialgleichung

Im Mathematik , ein gewöhnliche Differentialgleichung (oder ODE ) ist eine Beziehung, die Funktionen von nur einer unabhängigen Variablen und einer oder mehreren ihrer Ableitungen in Bezug auf diese Variable enthält.

Ein einfaches Beispiel ist Newtons zweites Bewegungsgesetz, das auf die Differentialgleichung führt

  m \frac{d^2 x}{dt^2} = f(x)\, ,

für die Bewegung eines Masseteilchens m . Im Allgemeinen die Kraft f hängt von der Position des Teilchens ab x , und damit die unbekannte Variable x erscheint auf beiden Seiten der Differentialgleichung, wie in der Notation angegeben f(x) .



Gewöhnliche Differentialgleichungen sind von partiellen Differentialgleichungen zu unterscheiden, bei denen es mehrere unabhängige Variablen mit partiellen Ableitungen gibt.

Gewöhnliche Differentialgleichungen treten in vielen verschiedenen Kontexten auf, einschließlich Geometrie, Mechanik, Astronomie und Bevölkerungsmodellierung. Viele berühmte Mathematiker haben Differentialgleichungen studiert und zu diesem Gebiet beigetragen, darunter Newton , Leibniz , die Bernoullis, Riccati, Clairaut, d'Alembert und Euler .

Der Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen ist viel Forschung gewidmet worden. Wenn die Gleichung linear ist, kann sie durch analytische Methoden gelöst werden. Leider sind die meisten interessanten Differentialgleichungen nichtlinear und bis auf wenige Ausnahmen nicht exakt lösbar. Annäherungslösungen werden unter Verwendung von Computernäherungen erreicht (siehe numerische gewöhnliche Differentialgleichungen).

Definitionen

Lassen Y eine unbekannte Funktion sein

  y:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

in x mit Y ( ich ) das ich -te Ableitung von Y , dann eine Funktion

  F(x,y,y^{(1)},\ \dots,\ y^{(n-1)})=y^{(n)}

heißt ein gewöhnliche Differentialgleichung (ODE) von bestellen (oder Grad ) n . Für vektorwertige Funktionen

  y:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^m

wir nennen F a System gewöhnlicher Differentialgleichungen von Abmessungen m .

Eine Funktion Y heißt ein Lösung von F . EIN Allgemeine Lösung von einem n Gleichung ter Ordnung ist eine Lösung, die enthält n beliebige Variablen, entsprechend n Integrationskonstanten. EIN besondere Lösung wird aus der allgemeinen Lösung abgeleitet, indem die Konstanten auf bestimmte Werte gesetzt werden. Eine singuläre Lösung ist eine Lösung, die nicht aus der allgemeinen Lösung abgeleitet werden kann.

Bei einer Differentialgleichung der Ordnung n hat die Form

  F\left(x, y, y', y'',\ \dots,\ y^{(n)}\right) = 0

es heißt ein implizit Differentialgleichung, während die Form

  F\left(x, y, y', y'',\ \dots,\ y^{(n-1)}\right) = y^{(n)}

heißt ein explizit Differentialgleichung.

Eine Differentialgleichung nicht abhängig von x wird genannt autonom .

Eine Differentialgleichung soll sein linear wenn F kann als Linearkombination der Ableitungen von geschrieben werden Y

  y^{(n)} = \sum_{i=1}^{n-1} a_i(x) y^{(i)} + r(x)

mit a ich ( x ) und r ( x ) stetige Funktionen in x . Wenn r ( x )=0 nennen wir die lineare Differentialgleichung homogen sonst nennen wir es inhomogen .

Beispiele

Reduzierung der Dimension

Gegeben sei eine explizite gewöhnliche Differentialgleichung der Ordnung n und Dimension 1,

  F\left(x, y, y', y'',\ \dots,\ y^{(n-1)}\right) = y^{(n)}

wir definieren eine neue Familie unbekannter Funktionen

Y n := Y ( n −1) .

Wir können dann die ursprüngliche Differentialgleichung als System von Differentialgleichungen mit Ordnung 1 und Dimension umschreiben n .

  y_1^' = y_2
  \vdots
  y_n^' = F(y_n, \dots, y_1, x).

was in Vektorschreibweise prägnant geschrieben werden kann als

  \mathbf{y}^'=\mathbf{F}(\mathbf{y}, x)

mit

  \mathbf{y}:=(y,\ldots,y_n).

Arten gewöhnlicher Differentialgleichungen

Gewöhnliche Differentialgleichungen, die durch drei Faktoren kategorisiert werden können:

  • Linear vs. nichtlinear
  • Homogen vs. Inhomogen
  • Konstante Koeffizienten versus variable Koeffizienten

Die folgenden Informationen bieten Methoden zur Lösung dieser unterschiedlichen ODEs:

Homogene lineare ODEs mit konstanten Koeffizienten

Die erste Methode zur Lösung linearer gewöhnlicher Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten ist zurückzuführen auf Euler , der erkannte, dass Lösungen die Form haben und Mit x , für möglicherweise komplexe Werte von Mit . So zu lösen

  \frac {d^{n}y} {dx^{n}} + A_{1}\frac {d^{n-1}y} {dx^{n-1}} + \cdots + A_{n }y = 0

legen wir fest Y = und Mit x , führt zu

  z^n e^{zx} + A_1 z^{n-1} e^{zx} + \cdots + A_n e^{zx} = 0

also dividieren durch und Mit x gibt die n Polynom ter Ordnung

  F(z) = z^{n} + A_{1}z^{n-1} + \cdots + A_n = 0

Kurz die Bedingungen

  \frac{d^{k}y}{dx^{k}}\quad\quad(k = 1, 2, \cdots, n).

der ursprünglichen Differentialgleichung werden durch ersetzt Mit k . Das Lösen des Polynoms ergibt n Werte von Mit ,  Y . Stecken Sie diese Werte in  z^4-2z^3+2z^2-2z+1=0 \, gibt eine Grundlage für die Lösung; jede lineare Kombination dieser Basisfunktionen erfüllt die Differentialgleichung.

Diese Gleichung F ( Mit ) = 0, ist die 'charakteristische' Gleichung, die später von Monge und Cauchy betrachtet wird.


Beispiel
  e^{ix} ,\, e^{-ix} ,\, e^x ,\, xe^x \,.''''-2y'''+2y''-2y'+y=0 \,

hat die charakteristische Gleichung

  \cos x ,\, \sin x ,\, e^x ,\, xe^x \,. .

Das hat Nullen, ich , − ich , und 1 (Multiplizität 2). Die Lösungsbasis ist dann

  u_1=\mbox{Re}(y_1)=\frac{y_1+y_2}{2}=e^{2x}\cos(x) \,

Dies entspricht der reellwertigen Lösungsbasis

  u_2=\mbox{Im}(y_1)=\frac{y_1-y_2}{2i}=e^{2x}\sin(x) \,

Wenn Mit eine (möglicherweise nicht reelle) Null von ist F ( Mit ) der Vielheit m und  \frac {d^{n}y} {dx^{n}} + A_{1}\frac {d^{n-1}y} {dx^{n-1}} + \cdots + A_{n }y = f(x). dann  P(v)=v^n+A_1v^{n-1}+\cdots+A_n. ist eine Lösung der ODE. Diese Funktionen bilden die Basis der ODE-Lösungen.

Wenn die EIN ich reell sind, dann sind reellwertige Lösungen vorzuziehen. Da die nicht real Mit Werte werden in konjugierten Paaren auftreten, ebenso ihre Entsprechung Y s; ersetze jedes Paar durch ihre Linearkombinationen Re( Y ) und ich bin( Y ).

Ein Fall mit komplexen Wurzeln kann mit Hilfe der Euler-Formel gelöst werden.

  • Beispiel: Gegeben  y_p=u_1y_1+u_2y_2+\cdots+u_ny_n.''-4y'+5y=0 \, . Die charakteristische Gleichung ist  f=P(D)y_p=P(D)(u_1y_1)+P(D)(u_2y_2)+\cdots+P(D)(u_ny_n). die Nullen 2+ hat ich und 2− ich . Also die Lösungsbasis { Y 1 , Y zwei } ist  0=ein . Jetzt Y ist eine Lösung iff  0=ein zum  0=ein .

Da die Koeffizienten reell sind,

  • Wir sind wahrscheinlich nicht an den komplexen Lösungen interessiert
  • unsere Basiselemente sind wechselseitige Konjugierte

Die Linearkombinationen

  f=u_1P(D)y_1+u_2P(D)y_2+\cdots+u_nP(D)y_n+u und
  f=u

wird uns eine echte Grundlage geben { in 1 , in zwei } .

Inhomogene lineare ODEs mit konstanten Koeffizienten

Angenommen, wir stehen stattdessen gegenüber

  in

Definieren Sie zur späteren Bequemlichkeit das charakteristische Polynom

  IN\,

Wir finden die Lösungsbasis  = \begin{vmatrix}e^{(2+i)x}&e^{(2-i)x} \\ (2+i)e^{(2+i)x}&(2-i)e ^{(2-i)x} \end{vmatrix} wie im homogenen ( f =0) Fall. Wir suchen nun a besondere Lösung Y p bis zum Variation von Parametern Methode. Die Koeffizienten der Linearkombination seien Funktionen von x :

  =e^{4x}\begin{vmatrix}1&1\\ 2+i&2-i\end{vmatrix}

Verwenden der Notation 'Operator'. D = d / d x und eine großzügige Verwendung der Notation, die fragliche ODE P ( D ) Y = f ; Also

  =-2ie^{4x}\,

Mit den Einschränkungen

  in'_1y_1+u'_2y_2+\cdots+u'_ny_n
  =\frac{1}{W}\begin{vmatrix}0&e^{(2-i)x}\\ \sin(kx)&(2-i)e^{(2-i)x}\end{ vmatrix}'_1y'_1+u'_2y'_2+\cdots+u'_ny'_n
  =-\frac{i}2\sin(kx)e^{(-2-i)x}'_1y^{(n-2)}_1+u'_2y^{(n-2)}_2+\cdots+u'_ny^{(n-2)}_n

Die Parameter pendeln, mit ein wenig 'Schmutz':

  in'_1y^{(n-1)}_1+u'_2y^{(n-1)}_2+\cdots+u'_ny^{(n-1)}_n.

Aber P ( D ) Y j = 0 , deshalb

  =\frac{1}{W}\begin{vmatrix}e^{(2+i)x}&0\\ (2+i)e^{(2+i)x}&\sin(kx)\end {vmatrix}'_1y^{(n-1)}_1+u'_2y^{(n-1)}_2+\cdots+u'_ny^{(n-1)}_n.

Dies ergibt mit den Einschränkungen ein lineares System in der in ' j . So viel kann immer gelöst werden; Tatsächlich kombiniert man Cramers Regel mit der Wronskischen,

  =\frac{i}{2}\sin(kx)e^{(-2+i)x}.'_j=(-1)^{n+j}\frac{W(y_1,\ldots,y_{j-1},y_{j+1}\ldots,y_n)_{0 \choose f}}{W(y_1,y_2,\ldots,y_n)}.

Der Rest ist Integrationssache in ' j .

Die jeweilige Lösung ist nicht eindeutig;  u_1\, erfüllt auch die ODE für jeden Satz von Konstanten c j .

Siehe auch Variation von Parametern.

Beispiel: Vermuten Y '' - 4 Y ' + 5 Y = s ich n ( k x ) . Wir nehmen die oben gefundene Lösungsbasis { und (2+ ich ) x , und (2 − ich ) x } .

  =-\frac{i}{2}\int\sin(kx)e^{(-2-i)x}\,dx   =\frac{dh^{(-2-i)x}}{2(3+4i+k^2)}\left((2+i)\sin(kx)+k\cos(kx)\right )
  u_2\,
  =\frac i2\int\sin(kx)e^{(-2+i)x}\,dx
  =\frac{ie^{(i-2)x}}{2(3-4i+k^2)}\left((i-2)\sin(kx)-k\cos(kx)\right) .'_1\,   Und P\,
  =\frac{i}{2(3+4i+k^2)}\left((2+i)\sin(kx)+k\cos(kx)\right) +\frac{i}{2( 3-4i+k^2)}\left((i-2)\sin(kx)-k\cos(kx)\right)
  =\frac{(5-k^2)\sin(kx)+4k\cos(kx)}{(3+k^2)^2+16}.'_2\,   Y
  f\links(0\rechts)=2 \,

Verwendung der Liste der Integrale von Exponentialfunktionen

  f=e^{-3x}\left(\int 2 e^{3x} dx + \kappa\right) \,   f=e^{-3x}\left(2/3\left( e^{3x}-e^0 \right) + \kappa\right) \,
  f=2/3\left(1-e^{-3x}\right) + e^{-3x}\kappa \,
  y=e^{-a(x)}\left(\int r(x) e^{a(x)} dx + \kappa\right)   a(x)=\int{p(x)dx}.
  y^\prime + py = r

Und so

  y^\prime = u^\prime v + u v^\prime   u^\prime v + u v^\prime + puv = r
  u^\prime v + puv = 0

(Beachte das in 1 und in zwei hatte Faktoren, die abgebrochen Y 1 und Y zwei ; das ist typisch.)

Interessanterweise hat diese ODE eine physikalische Interpretation als angetriebener gedämpfter harmonischer Oszillator; Y p stellt den stationären Zustand dar, und c 1 Y 1 + c zwei Y zwei ist die Transiente.


Lineare ODEs erster Ordnung

Beispiel
  u v^\prime = r'+3y=2 \,

mit der Anfangsbedingung

  u^\prime + pu = 0 .

Mit dem allgemeinen Lösungsverfahren:

  u = e^{ - \int p dx } .

Die Integration erfolgt von 0 bis x und ergibt:

  v = \int r e^{ \int p dx} + C .

Dann können wir reduzieren auf:

  y =e^{ - \int p dx } \left( \int r e^{ \int p dx } + C \right) .

Nehmen Sie an, dass Kappa 2 von der Anfangsbedingung ist.

Für eine lineare ODE erster Ordnung mit Koeffizienten, die variieren können oder nicht x :

Y '( x ) + p ( x ) Y ( x ) = r ( x )

Dann,

  \frac{dy}{dx} + b y = 1.

wo K ist die Konstante der Integration, und

  y(x) = e^{-bx} \left( e^{bx}/b+ C \right) = 1/b + C e^{-bx} .

Dieser Beweis stammt von Jean Bernoulli. Lassen

  c_3=\frac i{2(k^2+4ik-5)}

Angenommen für einige unbekannte Funktionen in ( x ) und in ( x ) das Y = uv .

Dann

  Y\,

Einsetzen in die Differentialgleichung,

  =c_1y_1+c_2y_2+\frac i{2(k^2+4ik-5)}y_3+\frac i{2(-k^2+4ik+5)}y_4

Nun der wichtigste Schritt: Da ist die Differentialgleichung linear wir können dies in zwei unabhängige Gleichungen aufteilen und schreiben

  =c_1y_1+c_2y_2+\frac{4k\cos(kx)-(k^2-5)\sin(kx)} {(k^2+4ik-5)(k^2-4ik-5)}
  =c_1y_1+c_2y_2 +\frac{4k\cos(kx)+(5-k^2)\sin(kx)}{k^4+6k^2+25}.

Da v nicht Null ist, wird die obere Gleichung

  \left\{ {\begin{matrix} {\dot u = \frac{{ - y_2 f}}{W} = \frac{{ - \sin x}}{{\cos x}} = \tan x} \\ {\dot v = \frac{{y_1 f}}{W} = \frac{{\cos x}}{{\cos x}} = 1} \\ \end{matrix}} \right.

Die Lösung dafür ist

  W\left( {y_1,y_2 :x} \right) = \left| {\begin{matrix} {\cos x} & {\sin x} \\ { - \sin x} & {\cos x} \\ \end{matrix}} \right| = 1

Einsetzen in die zweite Gleichung

  \left\{ \begin{matrix} u = - \int {\tan x\,dx = - \ln \left| {\sec x} \right| + C} \\ v = \int {1\,dx = x + C} \\ \end{matrix} \right.

Seit Y = uv , für beliebige Konstante C

  \begin{Matrix} y_p = f = uy_1 + vy_2 = \cos x\ln \left| {\cos x} \right| + x\sin x \\ y_G = y_c + y_p = C_1 \cos x + C_2 \sin x + x\sin x + \cos x\ln \left( {\cos x} \right) \\ \end{Matrix }


Betrachten Sie als anschauliches Beispiel eine Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten:

  p_{n}(x)y^{(n)}(x) + p_{n-1}(x) y^{(n-1)}(x) + \ldots + p_0(x) y(x ) = r(x).

Diese Gleichung ist besonders relevant für Systeme erster Ordnung wie RC-Schaltungen und Masse-Dämpfer-Systeme.

In diesem Fall, p ( x ) = b, r ( x ) = 1.

Daher ist seine Lösung

  x^n y^{(n)}(x) + a_{n-1} x^{n-1} y^{(n-1)}(x) + \ldots + a_0 y(x) = 0.

Methode der unbestimmten Koeffizienten

Die Methode der unbestimmten Koeffizienten (MoUC) ist nützlich, um eine Lösung für zu finden Y p . Angesichts der ODE P ( D ) Y = f ( x ) , finden Sie einen anderen Differentialoperator EIN ( D ) so dass EIN ( D ) f ( x ) = 0 . Dieser Operator heißt Vernichter , und daher wird die Methode der unbestimmten Koeffizienten auch als die bezeichnet Vernichtungsmethode . Bewirbt sich EIN ( D ) zu beiden Seiten der ODE ergibt eine homogene ODE für die wir eine Lösungsbasis finden wie vorher. Dann wird die ursprüngliche inhomogene ODE verwendet, um ein Gleichungssystem zu konstruieren, das die Koeffizienten der linearen Kombinationen beschränkt, um die ODE zu erfüllen.

Unbestimmte Koeffizienten sind nicht so allgemein wie die Variation von Parametern in dem Sinne, dass ein Vernichter nicht immer existiert.

Beispiel : Gegeben Y '' - 4 Y ' + 5 Y = Sünde ( k x ) , P ( D ) = D zwei − 4 D + 5 . Der einfachste Vernichter von ohne( k x ) ist EIN ( D ) = D zwei + k zwei . Die Nullen von EIN ( Mit ) P ( Mit ) sind {2 + ich .2 − ich , ich k , − ich k } , also die Lösungsbasis von EIN ( D ) P ( D ) ist { Y 1 , Y zwei , Y 3 , Y 4 } = { und (2+ ich ) x , und (2 − ich ) x , und ich k x , und ich k x }.

Einstellung Y = c 1 Y 1 + c zwei Y zwei + c 3 Y 3 + c 4 Y 4 wir finden

ohne( k x ) = P ( D ) Y
= P ( D )( c 1 Y 1 + c zwei Y + c 3 Y 3 + c 4 Y 4 )
= c 1 P ( D ) Y 1 + c zwei P ( D ) Y zwei + c 3 P ( D ) Y 3 + c 4 P ( D ) Y 4
= 0 + 0 + c 3 (- k zwei − 4 ich k + 5) Y 3 + c 4 (- k zwei + 4 ich k + 5) Y 4
= c 3 (- k zwei − 4 ich k + 5)(cos( k x ) + ich ohne( k x )) + c 4 (- k zwei + 4 ich k + 5)(cos( k x ) − ich ohne( k x ))

System geben

ich = ( k zwei + 4 ich k −5) c 3 + ( - k zwei + 4 ich k + 5) c 4
0 = ( k zwei + 4 ich k −5) c 3 + ( k zwei − 4 ich k −5) c 4

die Lösungen hat

 ,

die Lösungsmenge geben

Methode zur Variation von Parametern

Wie oben erläutert, die allgemeine Lösung einer inhomogenen, linearen Differentialgleichung Y ''( x ) + p ( x ) Y '( x ) + q ( x ) Y ( x ) = g ( x ) kann als Summe der allgemeinen Lösung ausgedrückt werden Y h ( x ) zur entsprechenden homogenen, linearen Differentialgleichung Y ''( x ) + p ( x ) Y '( x ) + q ( x ) Y ( x ) = 0 und jede eine Lösung Y p ( x ) zu Y ''( x ) + p ( x ) Y '( x ) + q ( x ) Y ( x ) = g ( x ) .

Wie das oben beschriebene Verfahren der unbestimmten Koeffizienten ist das Verfahren der Variation von Parametern ein Verfahren zum Finden einer Lösung für Y ''( x ) + p ( x ) Y '( x ) + q ( x ) Y ( x ) = g ( x ) , nachdem ich bereits die allgemeine Lösung gefunden habe Y ''( x ) + p ( x ) Y '( x ) + q ( x ) Y ( x ) = 0 . Im Gegensatz zur Methode der unbestimmten Koeffizienten, die außer bei bestimmten spezifischen Formen versagt g ( x ), wird die Methode der Variation von Parametern immer funktionieren; es ist jedoch wesentlich schwieriger zu verwenden.

Für eine Gleichung zweiter Ordnung macht sich die Methode der Parametervariation die folgende Tatsache zunutze:

Tatsache

Lassen p ( x ), q ( x ), und g ( x ) Funktionen sein, und let Y 1 ( x ) und Y zwei ( x ) Lösungen der homogenen, linearen Differentialgleichung sein Y ''( x ) + p ( x ) Y '( x ) + q ( x ) Y ( x ) = 0 . Weiter lassen in ( x ) und in ( x ) Funktionen sein, so dass in '( x ) Y 1 ( x ) + in '( x ) Y zwei ( x ) = 0 und in '( x ) Y 1 '( x ) + in '( x ) Y zwei '( x ) = g ( x ) für alle x , und definieren Y p ( x ) = in ( x ) Y 1 ( x ) + in ( x ) Y zwei ( x ) . Dann Y p ( x ) ist eine Lösung der inhomogenen, linearen Differentialgleichung Y ''( x ) + p ( x ) Y '( x ) + q ( x ) Y ( x ) = g ( x ) .

Nachweisen

Y p ( x ) = in ( x ) Y 1 ( x ) + in ( x ) Y zwei ( x )

Y p '( x ) = in '( x ) Y 1 ( x ) + in ( x ) Y 1 '( x ) + in '( x ) Y zwei ( x ) + in ( x ) Y zwei '( x )
= 0 + in ( x ) Y 1 '( x ) + in ( x ) Y zwei '( x )
Y p ''( x ) = in '( x ) Y 1 '( x ) + in ( x ) Y 1 ''( x ) + in '( x ) Y zwei '( x ) + in ( x ) Y zwei ''( x )
= g ( x ) + in ( x ) Y 1 ''( x ) + in ( x ) Y zwei ''( x )

Y p ''( x ) + p ( x ) Y ' p ( x ) + q ( x ) Y p ( x ) = g ( x ) + in ( x ) Y 1 ''( x ) + in ( x ) Y zwei ''( x ) + p ( x ) in ( x ) Y 1 '( x ) + p ( x ) in ( x ) Y zwei '( x ) + q ( x ) in ( x ) Y 1 ( x ) + q ( x ) in ( x ) Y zwei ( x )

= g ( x ) + in ( x )( Y 1 ''( x ) + p ( x ) Y 1 '( x ) + q ( x ) Y 1 ( x )) + in ( x )( Y zwei ''( x ) + p ( x ) Y zwei '( x ) + q ( x ) Y zwei ( x )) = g ( x ) + 0 + 0 = g ( x )

Verwendungszweck

Lösen der inhomogenen, linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung Y ''( x ) + p ( x ) Y '( x ) + q ( x ) Y ( x ) = g ( x ) Verwenden Sie die Methode der Variation von Parametern, verwenden Sie die folgenden Schritte:

  1. Finde die allgemeine Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung Y ''( x ) + p ( x ) Y '( x ) + q ( x ) Y ( x ) = 0 . Finden Sie insbesondere zwei linear unabhängige Lösungen Y 1 ( x ) und Y zwei ( x ) .
  2. Seit Y 1 ( x ) und Y zwei ( x ) sind linear unabhängige Lösungen, ihre Wronski-Funktion Y 1 ( x ) Y zwei '( x ) − Y 1 '( x ) Y zwei ( x ) ist ungleich Null, also können wir berechnen − ( g ( x ) Y zwei ( x )) / ( Y 1 ( x ) Y zwei '( x ) − Y 1 '( x ) Y zwei ( x )) und ( g ( x ) Y 1 ( x )) / ( Y 1 ( x ) Y zwei '( x ) − Y 1 '( x ) Y zwei ( x )) . Wenn ersteres gleich ist in '( x ) und letzteres zu in '( x ), dann in und in die beiden oben angegebenen Einschränkungen erfüllen: dass in '( x ) Y 1 ( x ) + in '( x ) Y zwei ( x ) = 0 und das in '( x ) Y 1 '( x ) + in '( x ) Y zwei '( x ) = g ( x ) . Wir können dies feststellen, nachdem wir mit dem Nenner multipliziert und die Koeffizienten verglichen haben.
  3. Integrieren − ( g ( x ) Y zwei ( x )) / ( Y 1 ( x ) Y zwei '( x ) − Y 1 '( x ) Y zwei ( x )) und ( g ( x ) Y 1 ( x )) / ( Y 1 ( x ) Y zwei '( x ) − Y 1 '( x ) Y zwei ( x )) erhalten in ( x ) und in ( x ), beziehungsweise. (Beachten Sie, dass wir nur eine Auswahl von benötigen in und in , also braucht man keine Integrationskonstanten.)
  4. Berechnen Y p ( x ) = in ( x ) Y 1 ( x ) + in ( x ) Y zwei ( x ) . Die Funktion Y p ist eine Lösung von Y ''( x ) + p ( x ) Y '( x ) + q ( x ) Y ( x ) = g ( x ) .
  5. Die allgemeine Lösung ist c 1 Y 1 ( x ) + c zwei Y zwei ( x ) + Y p ( x ) , wo c 1 und c zwei sind beliebige Konstanten.

Gleichungen höherer Ordnung

Die Methode der Parametervariation kann auch bei Gleichungen höherer Ordnung angewendet werden. Zum Beispiel, wenn Y 1 ( x ) , Y zwei ( x ) , und Y 3 ( x ) sind linear unabhängige Lösungen zu Y '''( x ) + p ( x ) Y ''( x ) + q ( x ) Y '( x ) + r ( x ) Y ( x ) = 0 , dann gibt es Funktionen in ( x ), in ( x ), und in ( x ) so dass in '( x ) Y 1 ( x ) + in '( x ) Y zwei ( x ) + in '( x ) Y 3 ( x ) = 0 , in '( x ) Y 1 '( x ) + in '( x ) Y zwei '( x ) + in '( x ) Y 3 '( x ) = 0 , und in '( x ) Y 1 ''( x ) + in '( x ) Y zwei ''( x ) + in '( x ) Y 3 ''( x ) = g ( x ) . Nachdem man solche Funktionen gefunden hat (durch algebraisches Auflösen nach in '( x ), in '( x ), und in '( x ), dann jeweils integrieren), haben wir Y p ( x ) = in ( x ) Y 1 ( x ) + in ( x ) Y zwei ( x ) + in ( x ) Y 3 ( x ) , eine Lösung der Gleichung Y '''( x ) + p ( x ) Y ''( x ) + q ( x ) Y '( x ) + r ( x ) Y ( x ) = g ( x ) .

Beispiel

Lösen Sie das vorherige Beispiel, Y '' + Y = Sek x Abrufen . Aus der Technik, die aus 3.1 gelernt wurde, hat LHS die Wurzel von diese Ausbeute Y c = C 1 cos x + C zwei ohne x , (Also Y 1 = cos x , Y zwei = ohne x ) und seine Derivate

wo die Wronskian

wurden berechnet, um eine Lösung für seine Ableitungen zu suchen.

Bei der Integration

Rechnen Y p und Y G :

Lineare ODEs mit variablen Koeffizienten

Eine lineare ODE der Ordnung n mit variablen Koeffizienten hat die allgemeine Form

Beispiele

Ein besonders einfaches Beispiel ist die in der Technik häufig verwendete Cauchy-Euler-Gleichung

Theorien von ODEs

Singuläre Lösungen

Die Theorie singulärer Lösungen gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen war seit Leibniz Gegenstand der Forschung, erhielt aber erst seit Mitte des 19. Jahrhunderts besondere Aufmerksamkeit. Eine wertvolle, aber wenig bekannte Arbeit zu diesem Thema ist die von Houtain (1854). Darboux (seit 1873) war führend in der Theorie, und in der geometrischen Interpretation dieser Lösungen eröffnete er ein Feld, das von verschiedenen Autoren bearbeitet wurde, insbesondere von Casorati und Cayley. Letzterem ist (1872) die um 1900 angenommene Theorie der singulären Lösungen von Differentialgleichungen erster Ordnung zu verdanken.

Reduktion auf Quadraturen

Der primitive Versuch, sich mit Differentialgleichungen zu befassen, hatte eine Reduktion auf Quadraturen im Auge. Da es die Hoffnung der Algebraiker des 18. Jahrhunderts gewesen war, eine Methode zur Lösung der allgemeinen Gleichung von zu finden n Grad, so war es die Hoffnung der Analytiker, eine allgemeine Methode zur Integration beliebiger Differentialgleichungen zu finden. Gauß (1799) zeigte jedoch, dass die Differentialgleichung sehr bald an ihre Grenzen stößt, wenn keine komplexen Zahlen eingeführt werden. Daher begannen die Analytiker, das Studium der Funktionen zu ersetzen, und eröffneten so ein neues und fruchtbares Feld. Cauchy erkannte als erster die Bedeutung dieser Ansicht. Danach sollte die eigentliche Frage nicht sein, ob eine Lösung durch bekannte Funktionen oder deren Integrale möglich ist, sondern ob eine gegebene Differentialgleichung zur Definition einer Funktion der unabhängigen Variablen oder Variablen ausreicht, und wenn ja, welche charakteristische Eigenschaften dieser Funktion.

Fuchssche Theorie

Zwei Memoiren von Fuchs ( Crelle , 1866, 1868), inspirierte einen neuartigen Ansatz, der später von Thomé und Frobenius ausgearbeitet wurde. Collet leistete ab 1869 einen herausragenden Beitrag, obwohl seine Methode zur Integration eines nichtlinearen Systems Bertrand 1868 mitgeteilt wurde. Clebsch (1873) griff die Theorie parallel zu den in seiner Theorie der Abelschen Integrale verfolgten an. Da letztere nach den Eigenschaften der Fundamentalkurve klassifiziert werden können, die bei einer rationalen Transformation unverändert bleibt, schlug Clebsch vor, die durch die Differentialgleichungen definierten transzendenten Funktionen nach den invarianten Eigenschaften der entsprechenden Flächen zu klassifizieren f = 0 unter rationalen Eins-zu-Eins-Transformationen.

Lies Theorie

Ab 1870 stellten Lies Arbeiten die Theorie der Differentialgleichungen auf eine zufriedenstellendere Grundlage. Er zeigte, dass die Integrationstheorien der älteren Mathematiker durch die Einführung der sogenannten Lie-Gruppen auf eine gemeinsame Quelle zurückgeführt werden können; und dass gewöhnliche Differentialgleichungen, die dieselben infinitesimalen Transformationen zulassen, vergleichbare Integrationsschwierigkeiten aufweisen. Er betonte auch das Thema Kontakttransformationen ( Berührungstransformationen ).

Sturm-Liouville-Theorie

Die Sturm-Liouville-Theorie ist eine allgemeine Methode zur Auflösung linearer Gleichungen zweiter Ordnung mit variablen Koeffizienten.