Haupt >> Mathematik >> Differentialgleichung

Differentialgleichung

Im Mathematik , a Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der die Ableitungen einer Funktion als Variablen auftreten. Viele der Grundgesetze der Physik , Chemie , Biologie und Wirtschaft können als Differentialgleichungen formuliert werden. Sie drücken die Beziehung aus, die die Änderungsraten sich kontinuierlich ändernder Größen beinhalten, die durch Funktionen modelliert werden, und werden immer dann verwendet, wenn eine Änderungsrate (die Ableitung) bekannt ist, der Ursprungsprozess jedoch nicht. Die Lösung einer Differentialgleichung ist normalerweise eine Funktion, deren Ableitungen die Gleichung erfüllen. Dann stellt sich die Frage, wie man die findet Lösungen dieser Gleichungen.

Die mathematische Theorie der Differentialgleichungen hat sich zusammen mit den Wissenschaften entwickelt, in denen die Gleichungen ihren Ursprung haben und wo die Ergebnisse Anwendung finden. Unterschiedliche Wissenschaftsgebiete führen oft zu identischen Problemen in Differentialgleichungen. In solchen Fällen kann die mathematische Theorie ansonsten recht unterschiedliche Wissenschaftsgebiete vereinen. Ein berühmtes Beispiel ist Fouriers Theorie der Wärmeleitung in Form von Summen trigonometrischer Funktionen, Fourier-Reihen, die Anwendung in der Ausbreitung von Schall und elektromagnetischen Feldern, Optik, Elastizität, Spektralanalyse von Strahlung und anderen wissenschaftlichen Bereichen findet.

Das bestellen einer Differentialgleichung ist die höchste Ableitung, die sie enthält. Beispielsweise enthält eine Differentialgleichung erster Ordnung nur erste Ableitungen.

Arten von Differentialgleichungen

Ein gewöhnliche Differentialgleichung (ODE) enthält nur Funktionen einer unabhängigen Variablen und Ableitungen in dieser Variablen.
Eine partielle Differentialgleichung (PDE) enthält Funktionen mehrerer unabhängiger Variablen und ihrer partiellen Ableitungen.
Eine Verzögerungsdifferentialgleichung (DDE) enthält Funktionen einer abhängigen Variablen, Ableitungen in dieser Variablen und hängt von vorherigen Zuständen der abhängigen Variablen ab.
Eine stochastische Differentialgleichung (SDE) ist eine Differentialgleichung, in der einer oder mehrere der Terme ein stochastischer Prozess sind, was zu einer Lösung führt, die selbst ein stochastischer Prozess ist.
Eine algebraische Differentialgleichung (DAE) ist eine Differentialgleichung, die Differential- und algebraische Terme umfasst, die in impliziter Form gegeben sind.

Jede dieser Kategorien ist in lineare und nichtlineare Unterkategorien unterteilt. Eine Differentialgleichung ist linear wenn es sich um die unbekannte Funktion und ihre Ableitungen nur zur ersten Potenz handelt; andernfalls ist die Differentialgleichung nichtlinear . Also wenn $in'$ bezeichnet die erste Ableitung von in , dann die Gleichung

in' = in

ist linear , während die Gleichung

in' = in zwei

ist nichtlinear. Lösungen einer linearen Gleichung, in der die unbekannte Funktion oder ihre Ableitung oder Ableitungen in jedem Term vorkommen ( lineare homogene Gleichungen ) können addiert oder mit einer beliebigen Konstante multipliziert werden, um zusätzliche Lösungen dieser Gleichung zu erhalten, aber es gibt keine allgemeine Möglichkeit, Lösungsfamilien nichtlinearer Gleichungen zu erhalten, außer wenn sie Symmetrien aufweisen; siehe Symmetrien und Invarianten. Lineare Gleichungen treten häufig als Annäherungen an nichtlineare Gleichungen auf, und diese Annäherungen sind nur unter eingeschränkten Bedingungen gültig.

Die Theorie der Differentialgleichungen ist eng verwandt mit der Theorie der Differenzgleichungen, in der die Koordinaten nur diskrete Werte annehmen und die Beziehung Werte der unbekannten Funktion oder Funktionen und Werte an nahe gelegenen Koordinaten beinhaltet. Viele Verfahren zur Berechnung numerischer Lösungen von Differentialgleichungen oder zur Untersuchung der Eigenschaften von Differentialgleichungen beinhalten die Annäherung der Lösung einer Differentialgleichung durch die Lösung einer entsprechenden Differenzengleichung.

Das Studium von Differentialgleichungen ist ein weites Feld sowohl in reiner als auch in angewandte Mathematik . Reine Mathematiker untersuchen die Arten und Eigenschaften von Differentialgleichungen, z. B. ob Lösungen existieren oder nicht, und falls sie existieren, ob sie eindeutig sind. Angewandte Mathematiker betonen Differentialgleichungen aus Anwendungen und befassen sich neben Existenz-/Eindeutigkeitsfragen auch mit rigorosen Begründungsmethoden für Approximationslösungen. Physiker und Ingenieure sind normalerweise mehr daran interessiert, Näherungslösungen für Differentialgleichungen zu berechnen, und interessieren sich normalerweise weniger für Begründungen dafür, ob diese Näherungen wirklich nahe an den tatsächlichen Lösungen liegen. Diese Lösungen werden dann verwendet, um Himmelsbewegungen zu simulieren, Neuronen zu simulieren, Brücken, Autos, Flugzeuge, Abwasserkanäle usw. zu entwerfen. Oft haben diese Gleichungen keine Lösungen in geschlossener Form und werden mit numerischen Methoden gelöst.

Mathematiker untersuchen auch schwache Lösungen (aufgrund schwacher Ableitungen), bei denen es sich um Lösungstypen handelt, die nicht überall differenzierbar sein müssen. Diese Erweiterung ist oft notwendig, damit Lösungen existieren, und führt auch zu physikalisch vernünftigeren Eigenschaften von Lösungen, wie z. B. Stößen in hyperbolischen (oder Wellen-) Gleichungen.

Die Untersuchung der Stabilität von Lösungen von Differentialgleichungen wird als Stabilitätstheorie bezeichnet.